Kombinációk

Ki nem ábrándozott még arról, hogy megnyeri a lottó ötöst? Te mire költenéd? Jó kocsi, luxusutazás, lakás a Rózsadombon vagy tengerparti nyaraló… Tanulhatnál akár Amerikában is.
Számoljuk ki, hány szelvényt kellene kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen ötösünk! Másképp fogalmazva: hányféleképpen lehet kitölteni az ötös lottó szelvényét? 90 szám közül választunk ki ötöt. Az első x-et bárhová tehetjük, ez 90 lehetőség. A második kiválasztott szám 89-féle lehet, mert kétszer ugyanazt nem lehet megjelölni. A harmadik szám 88-féle lehet, a negyedik 87-féle, az ötödik 86-féle. Ez eddig $90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 96$ lehetőség. Azt is figyelembe kell venni, hogy a sorrend nem számít: mindegy, hogy először a kettest választjuk ki, aztán a 17-est vagy fordítva, hiszen a végén úgyis növekvő sorrendbe teszik a nyerőszámokat! Emiatt az előbbi szorzatot el kell osztani annyival, ahányféleképpen az öt kiválasztott számot sorba lehet állítani. Öt különböző számot $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$ (5 faktoriális)-féleképpen tudunk sorba rendezni. Osszuk el az előbbi számot $5! = 120$-szal! Azt kaptuk, hogy az ötös lottószelvényt csaknem 44 millióféleképpen lehet kitölteni. Egy játék 225 Ft-ba kerül, az összes kitöltés közel 10 milliárd Ft lenne. Ennyit pedig még sosem lehetett nyerni, tehát ráfizetéses lenne ez a projekt.
Az előbbi feladatban kiszámoltuk, hogy hányféleképpen lehet kiválasztani 90 számból 5-öt úgy, hogy a sorrend nem számít. Az eredményt felírhatjuk faktoriálisok segítségével is. A $90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 96$ szorzat tekinthető 90! (90 faktoriális) és 85! (85 faktoriális) hányadosának. Ezt osztottuk 5!-sal (5 faktoriálissal). Erre a hányadosra egy új jelölést vezetünk be, amelyet úgy olvasunk, hogy 90 alatt az 5.
Az egyik város focicsapatában hatan játszanak támadó poszton is. Hányféleképpen tud kiválasztani közülük hármat az edző a következő mérkőzésre? 6 ember közül kell kiválasztani hármat, a sorrend nem számít. Elsőként bárkit kijelölhet, ez 6 lehetőség. A másodikat 5 játékos közül választja ki a tréner, a harmadikat pedig 4 közül. Ez $6 \cdot 5 \cdot 4$ lehetőség. Nem számít, hogy kit nevezett meg először, másodszor, harmadszor, ezért osztani kell a 3 csatár sorrendjével, 3!-sal. A hányados rövidebb alakja $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 3 \end{array}} \right)$ (6 alatt a 3). Az eredmény 20, 20-féleképpen lehet kiválasztani a 3 csatárt.
Az előbbi két példát általánosan is megfogalmazhatjuk. Adott n elemű halmazból ki kell választani k különböző elemet úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel. Így az n elem k-ad osztályú kombinációját kapjuk. n elem k-ad osztályú kombinációinak a száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)$ (n alatt a k). Jelölése: $C_n^k$ (céenká).
Egy hattagú baráti társaság vízitúrázni indul. Egy piros, egy kék és egy fehér kenut bérelnek, mindhárom kétszemélyes. Hányféleképpen foglalhatják el a hajókat, ha a kenun belüli elhelyezkedésnek nincs jelentősége?
Kezdjük a piros kenuval! 6 emberből kiválasztunk kettőt, akik ebben foglalnak helyet. A sorrendjük nem számít, tehát 6 elem másodosztályú kombinációit kell kiszámolni. Ez pedig $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)$ (6 alatt a 2). A kék kenuba a 4 fő közül ketten ülhetnek be, a lehetőségek száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)$ (4 alatt a 2). A megmaradt két ember beül a fehér hajóba, ezt csak egyféleképpen tehetik meg. A kapott számokat összeszorozzuk, az eredmény 15-ször 6-szor 1, egyenlő 90. 90-féleképpen ülhetnek be a kenukba.
A kombinációk számát a legtöbb számológéppel közvetlenül ki lehet számolni. Keresd meg rajta az nCr gombot! Gyakran, mint a képen is, egy billentyű második funkciója a kombináció-számítás $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)$. meghatározását látod az ábrán. Néhány számológépen nincs ilyen művelet, ebben az esetben $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)$ definíciója alapján tudjuk kiszámolni az eredményt. Figyelj a műveletek sorrendjére! Ha a Te gépeden más a billentyűk sorrendje, olvasd el figyelmesen a használati utasítást!
Nézzük meg azt is, hogy a hatos lottószelvényt hányféleképpen lehet kitölteni! 45 számból kell kiválasztani 6-ot a sorrend figyelembe vétele nélkül. Ez 45 elem 6-od osztályú kombinációja, $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 45\\ 6 \end{array}} \right)$. (ejtsd:45 alatt a 6) Az eredmény 8 145 060.
Akármelyik lottó kitöltési lehetőségeit nézzük is, mindig óriási számokat kapunk. Lehet álmodozni a nyereményről, de sok pénzt nem szabad rákölteni, mert a nyerés esélye nagyon kicsi. Hogy pontosan mennyi az esély, azt a matematika valószínűség-számítás című fejezetének ismeretében tudod kiszámolni.