Nevezetes tételek a derékszögű háromszögben

Már az általános iskolában megismertétek a Pitagorasz-tételt, ami a derékszögű háromszög oldalainak kapcsolatát írja le. A hasonlóság és a háromszögek hasonlóságának alapesetei lehetővé teszik, hogy a derékszögű háromszögekről további tételeket is kimondjunk. Vizsgáljuk meg, hogy az átfogóhoz tartozó magasság megrajzolásával milyen további állításokhoz juthatunk!
Vegyünk fel egy derékszögű háromszöget, és lássuk el a szokásos jelölésekkel! Az átfogóhoz tartozó magasságot jelöljük m-mel! A magasság az átfogót két részre osztja, legyenek ezek p és q, valamint a magasság talppontja legyen T. Három különböző háromszöget látunk az ábrán: az ABC, az ATC és a BCT háromszögeket. Ezeknek a háromszögeknek a szögei páronként megegyeznek. Ezért a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete miatt a háromszögek hasonlók.
Írjuk fel a két kis háromszög hasonlóságának arányát, azaz az egymásnak megfelelő oldalak hányadosát! Az ATC háromszög α melletti p befogója úgy aránylik a BCT háromszög m befogójához, mint a $\beta $ melletti m befogó a q-hoz. Rendezés, majd négyzetgyökvonás után a magasságra a $\sqrt {p \cdot q} $ adódik. Ez éppen azt jelenti, hogy a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. Ezt az összefüggést magasságtételnek nevezzük.
A következő lépésben írjuk fel az ABC és az ATC háromszögek hasonlóságának arányát! A kis háromszög b átfogója úgy aránylik a nagy háromszög c átfogójához, mint a kis háromszög p befogója a nagy háromszög b befogójához. Átalakítások után azt kapjuk, hogy a b befogó mértani közepe a c és a p szakaszoknak. Ugyanígy járhatunk el az ABC és a BCT háromszögek esetén. Azt kapjuk, hogy az a befogó mértani közepe a c és q szakaszoknak. Fogalmazzuk meg a két befogóra kapott összefüggést! A derékszögű háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének. Ezt az összefüggést befogótételnek nevezzük.
A magasságtétel segítségével geometriai úton bizonyítható, hogy két nemnegatív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közepük. Legyen adott két szakasz, amelyek hossza a és b. Rajzoljunk egy $a + b$ átmérőjű kört! Vegyünk fel egy erre merőleges, T pontra illeszkedő egyenest! Az egyenes a kört a C pontban metszi. Az átmérő két végpontja és a kör kerületének egy tetszőleges pontja Thalész tétele szerint derékszögű háromszöget határoz meg. Így az ABC háromszög derékszögű. Ebben a háromszögben m az átfogóhoz tartozó magasság, a és b az átfogó két szelete. A most tanult magasságtétel értelmében a magasság éppen \(m = \sqrt {a \cdot b} \) hosszúságú. Ez a magasság nem lehet nagyobb, mint a kör sugara, ami $\frac{{a + b}}{2}$ hosszúságú, tehát $\sqrt {a \cdot b} \le \frac{{a + b}}{2}$. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha $a = b$.
Nézzünk egy számításos példát is! Az ábrán lévő derékszögű háromszögben p szakasz 2 egység, c pedig 8 egység hosszú. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szakaszait! A számolást érdemes a q-val kezdeni, mivel az átmérő a p és a q szakaszok összegével egyenlő, innen q-ra a 6 egység adódik. A magasságtételbe való behelyettesítést követően a magasságra közelítőleg 3,46 századot kapunk. A két befogó hosszát a befogótétellel könnyedén kiszámíthatjuk. A behelyettesítést követően a-ra 6,93, míg b-re 4 egységet kapunk. Hogy jól megtanuld a tételek használatát, oldd meg a témakör feladatait is!