Egyszerű szerkesztési feladatok

A matematikának, különösen a geometriai szerkesztéseknek az építészetben is fontos szerep jut. Napjainkban ugyan a számítógép megkönnyíti a tervezők munkáját, de gondoljunk bele, hogy egy piramis, egy templom vagy egy boltíves ablak megtervezése milyen nagy munka lehetett, amikor csak körző és vonalzó állt a tervezők rendelkezésére!
Már korábban megtanultad használni az euklideszi szerkesztés eszközeit, a körzőt és az egyélű vonalzót, és megismerted a szerkesztés alapvető lépéseit. Megtanultál ${60^ \circ }$-os szöget szerkeszteni: a félegyenes kezdőpontjából tetszőleges sugárral körívet rajzoltál, majd a metszéspontból ugyanazzal a sugárral elmetszetted a körívet. Megtanultad a szögek felezésének módszerét: a szög egy-egy szárán, a csúcstól egyenlő távolságra lévő pontokból azonos sugarú körívek metszéspontját szerkesztetted meg. Ezeket felhasználva könnyen megszerkeszthetővé váltak olyan nevezetes szögek, mint a ${30^ \circ }$, ${45^ \circ }$, ${75^ \circ }$.
Megtanultad a szakasz felező merőlegesének szerkesztését: a két végpontból egyenlő sugarú körívek metszéspontját szerkesztetted meg. Erre épül az adott egyenesre merőleges egyenes szerkesztése.
Ezeket az eljárásokat a háromszögek, négyszögek, szabályos sokszögek szerkesztésére használtátok.
Az összetettebb feladatok megoldása több lépésből áll. Először gyűjtsük össze az adatokat és gondoljuk végig, mit kell szerkeszteni! Ezek alapján készítsünk vázlatot, amiben a szerkesztendő alakzat is és az adatok is szerepelnek! Keressük meg az adatok közötti összefüggéseket, amelyek alapján rájöhetünk a szerkesztés lépéseire! Írjuk le ezeket, majd hajtsuk végre a szerkesztést!
A képen a Notre Dame és annak rózsaablaka látható. Vajon hogyan tervezték meg vonalzó és körző felhasználásával a homlokzaton lévő háromszöget és az ebbe illő, kör alakú ablakot? A mi feladatunk az, hogy megszerkesszük a háromszög és a kör kicsinyített rajzát.
Készítsünk vázlatot az adatok alapján! A homlokzat egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, aminek az alapja 45 méter, a szárak szöge pedig ${90^ \circ }$, ennek beírható köre a kör alakú ablak. 45 méter helyett dolgozzunk 4,5 cm hosszú szakasszal! Gyűjtsük össze a szükséges összefüggéseket! A háromszög megszerkesztéséhez Thalész tételét használhatjuk, mivel az alappal szemközti szög ${90^ \circ }$-os, illetve azt a tényt, hogy az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus az alap felező merőlegesére, így az alappal szemközti csúcs a tengelyre esik. A kör megszerkesztéséhez tudnunk kell, hogy a háromszögbe írt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja.
Először a háromszöget tudjuk megszerkeszteni, majd annak beírható körét. Írjuk fel a szerkesztés lépéseit! Vegyük fel az AB szakaszt! Szerkesszük meg a szakasz felező merőlegesét! Szerkesszük meg a szakasz Thalész-körét, azaz rajzoljuk meg az F középpontú, AF sugarú kört! A kör és a szakaszfelező merőleges metszéspontja adja meg a háromszög C csúcsát. Szerkesszük meg az egyik szög szögfelezőjét! A ${90^ \circ }$-os szög szögfelezője az AB szakasz felező merőlegese. A két szögfelező metszéspontja adja a kör „O” középpontját. A beírható kör sugara az OF szakasz, mert merőleges AB-re. Végül szerkesszük meg a beírható kört!
A lépéseknek megfelelően hajtsuk végre a szerkesztést! Vegyük fel az AB szakaszt és szerkesszük meg a szakasz felező merőlegesét, majd a szakasz Thalész-körét! Ezek metszéspontja megadja a háromszög harmadik csúcsát. Szerkesszük meg az egyik alapon fekvő szög szögfelezőjét! Ahol ez metszi a felező merőlegest, az lesz a beírható kör „O” középpontja. Az O középpontból, OF sugárral rajzoljuk meg a beírható kört!
Ennek a feladatnak egyértelmű a megoldása. Sok esetben viszont fölmerül a szerkeszthetőség kérdése. Ilyen az ókori görög matematika négy klasszikus problémája. Bebizonyították, hogy euklideszi szerkesztéssel nem lehet tetszőleges szög harmadrészét megszerkeszteni, továbbá adott sugarú körrel egyenlő területű négyzet oldalát megszerkeszteni, adott körbe tetszőleges oldalszámú szabályos sokszöget szerkeszteni vagy olyan kocka élét megszerkeszteni, aminek a térfogata kétszerese egy adott kockáénak.