Függvények VI. - A másodfokú függvény

Mi is az a parabola? Már megismerkedhettél a lineáris, a fordított arányosság és az abszolútérték függvényekkel. Most vizsgáljuk meg a másodfokú függvényt! A másodfokú függvény arról kapta a nevét, hogy az x kitevője 2, azaz a változó második hatványon szerepel. Ha ábrázoljuk a függvényt, a képe egy parabola.
Az alapfüggvény megadási módja ef x egyenlő x négyzet. Ha elkészítjük az értéktáblázatot, azt látjuk, hogy az értékek minden esetben nem negatív számok, azaz a pozitív számok és a 0.
Ábrázoljuk a függvényt! A függvény képe a parabola. Láthatjuk, hogy ez egy tengelyesen szimmetrikus alakzat, az y tengelyre nézve. Az ilyen függvényre azt mondjuk, hogy páros függvény, más néven a paritása páros.
Vizsgáljuk meg a függvény tulajdonságait! 1. É. T. $x \in R$ (Értelmezési tartománya a valós számok halmaza) 2. É. K. $x \in R\backslash \left\{ {{R^ - }} \right\}$ Értékkészlete a pozitív valós számok halmaza és a nulla. 3. zérushely: $x = 0$ 4. szélsőérték: a függvénynek minimuma van, a minimum helye $x = 0$, a minimum értéke ef x egyenlő nulla, maximuma nincs 5. a függvény menete: mínusz végtelentől 0-ig szigorúan monoton csökkenő, 0-tól plusz végtelenig szigorúan monoton növekvő 6. Paritása: páros függvény.
A másodfokú függvényt számtalan természeti törvény, összefüggés leírására alkalmazzuk, de egyszerű matematikai összefüggések, például a szélsőérték meghatározására is alkalmas. Vizsgáljuk meg a függvénytranszformáció lehetőségeit! Az alapfüggvényt a konstansokkal kiegészítve az általános megadási mód: $y = a \cdot {\left( {x - u} \right)^2} + v$ (a-szor iksz mínusz u a négyzeten plusz vé). Mire utalhat az a, u és v betű? Rajzoljuk meg a következő képlettel megadott függvények görbéjét! $f\left( x \right) = {x^2} - 4$ $g\left( x \right) = {\left( {x + 3} \right)^2}$ $h\left( x \right) = \left( { - 2} \right) \cdot {x^2}$ Készítsünk értéktáblázatot!
Ábrázoljuk az összetartozó értékpárokat! Látható, hogy a függvény képének módosulását most is a konstansok határozzák meg. Az ef függvény etében az függvény értékei néggyel csökkentek, mert $v = - 4$, ezért a függvény képét jelentő parabola a koordináta-rendszerben 4 egységgel függőlegesen lefelé tolódott el. A g függvény képénél az alapfüggvény képe az x tengellyel párhuzamosan tolódott el balra, három egységgel, mert az u értéke mínusz három. Végül a há függvény esetében a függvény értékei (-2)-szeresükre változtak, ezáltal a függvény képe megnyúlt, és az x tengelyre tükröződött. A fenti példák alapján látjuk, hogy a másodfokú függvény képletében v értéke megmutatja, hogy hány egységgel kellett az eredeti parabolát eltolni az y tengellyel párhuzamosan. Az u értéke megmutatja mennyivel toltuk el a függvényt az x tengellyel párhuzamosan, és az a értéke utal a parabola alakváltozására. Figyelj! Az eltolás előjele az x tengely mentén ELLENTÉTES, és ha az a értéke negatív, akkor tükrözzük is a parabolát!
Nézzünk egy egyszerű fizikai példát! Galileo Galilei Pisában született, majd Padovában geometriát, mechanikát és csillagászatot tanított. Többek között foglalkozott a szabadeséssel is. Az elbeszélések szerint ezeket a kísérleteit a pisai ferde toronyból végezte. Minden szabadon eső test egyenletesen gyorsuló mozgást végez, gyorsulása megközelítőleg $g = 10{\rm{ }}\frac{m}{{{s^2}}}$ (tíz méter per szekundum négyzet). Készítsük el egy ilyen test út–idő grafikonját! A számolási formula: $h = \frac{g}{2} \cdot {t^2} = 5 \cdot {t^2}$ (há egyenlő gé per kettőször té négyzet), ahol h: a szabadon eső test megtett útja, t: az eltelt idő, g: a gravitációs gyorsulás. Láthatjuk, hogy ebben az esetben is parabolát kapunk, de csak egy „fél parabolát”, hiszen a negatív számok körében nem értelmezhető a feladat.