Függvények V. – A fordított arányosság függvény

Ha beírod a wikipédiába Isaac Newton nevét, a következő összefoglalót kapod: XVII–XVIII. századi angol fizikus, matematikus, csillagász, filozófus és alkimista; a modern történelem egyik kiemelkedő tudósa. Ő volt az első, aki megmutatta, hogy az égitestek és a Földön lévő tárgyak mozgását ugyanazon természeti törvények határozzák meg. Matematikai magyarázattal támasztotta alá Kepler bolygómozgási törvényeit, kiegészítve őket azzal, hogy a különböző égitestek nemcsak elliptikus, hanem akár hiperbola- vagy parabolapályán is mozoghatnak.
Mi is az a hiperbola? Nézzük egy egyszerűbb példát! Ha kétszer annyian leszünk, fele annyi idő alatt végzünk. Ha háromszor annyian, akkor harmadannyi idő alatt. Gyakran hallunk ehhez hasonló ötletet. Ez nem más, mint a fordított arányosság. Ha két mennyiség fordítottan arányos, és az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség annak reciprokszorosára változik. Ekkor a két mennyiség szorzata állandó. Például ha az egyik a háromszorosára nő, akkor a másik a három reciprokszorosára változik, azaz $\frac{1}{3}$-ra (egy harmadára) csökken, és ha eredetileg x és y volt a két mennyiség, amelynek szorzata $x \cdot y$, akkor most a $3x \cdot \frac{1}{3}y$ is $= x \cdot y$. Ha ezt az összefüggést ábrázoljuk, akkor egy hiperbola képét kapjuk, amely jól szemlélteti, hogy ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökken.
Nézzük meg tehát a fordított arányosság függvény alapesetének a megadási módját, amely egyben az elsőfokú törtfüggvény alapesete is. A képlete $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ vagy $y = \frac{1}{x}$ (ef iksz egyenlő egy per iksz $Y = \frac{1}{x}$ Mivel a kifejezés nevezőjében változó érték szerepel, ezért ki kell kötni, hogy x nem lehet 0, de minden más érték lehet. Készítsünk értéktáblázatot, és számítsuk ki a függvény helyettesítési értékét a megfelelő helyen! Ha x = -(4), akkor $f\left( x \right) = 1:\left( { - 4} \right) = - \frac{1}{4}$ (ha iksz egyenlő (-4), akkor ef mínusz négy egyenlő egy osztva mínusz néggyel, ami egyenlő mínusz egy negyed). Látható, hogy a 0 kivételével az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei is a teljes valós számkörből kerülnek ki, azaz $x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}$ és $y \in R\backslash \left\{ 0 \right\}$
Ábrázoljuk az összetartozó értékpárokat derékszögű koordináta-rendszerben! Ekkor megkapjuk a fordított arányosság függvény képét, a hiperbolát!
A természetben sok olyan folyamatot találunk, ahol a mennyiségek között fordított arányosság van. Ilyenek például az adott tömegű ideális gázokra vonatkozó törvény, amelyben állandó hőmérsékleten $p \cdot V = \'a ll.$ (p-szer vé szorzata állandó). Itt p a gáz nyomása, V a térfogata. Ha ezt az összefüggést ábrázoljuk a p-V diagramon, akkor csak az I. síknegyedben kapunk pontokat, mert negatív, illetve 0 nyomásról és térfogatról nem beszélhetünk.
Nézzük az elsőfokú törtfüggvény általános megadási módját! A továbbiakban példákat mutatunk arra, hogy a képletben szereplő konstansok értékei miatt milyen geometriai transzformációkat kell végrehajtanunk az alapfüggvény képén, a hiperbolán. $f\left( x \right) = \frac{6}{x}$ (efiksz egyenlő hat per iksz) $g\left( x \right) = \frac{6}{{x - 2}}$ (gé iksz egyenlő 6 per iksz mínusz kettő) $h\left( x \right) = \frac{6}{x} + 3$ (há iksz egyenlő 6 per iksz meg három) $i\left( x \right) = \frac{{\left( { - 6} \right)}}{x}$ (i iksz egyenlő mínusz hat per iksz) Készítsünk értéktáblázatot és ábrázoljuk a megfelelő értékpárokat! Látható, hogy ha a szorzószámot, „a”-t változtatjuk, akkor a függvény alakja úgy változik, mint az f függvény. Ha a függvény az x tengellyel párhuzamosan mínusz b-vel tolódik el, akkor úgy változik, mint a g függvény. Láthatjuk, hogy amikor „a” értéke a 6-szorosára változik, akkor az alapfüggvény képe az y tengely irányában 6-szorosára megnyúlik. Amikor pedig „bé” értéke mínusz 2 lesz, akkor az „ef” függvény képe az x tengellyel párhuzamosan jobbra tolódik két egységgel. Ha függőlegesen tolódik el, plusz c-vel, akkor pedig úgy, mint a$h\left( x \right)$. És ha „a” értékét negatívra változtatjuk, akkor a függvény az x tengelyre tükröződik, mint például az $i\left( x \right)$. Abban az esetben, amikor „cé” értéke változik plusz háromra, akkor az ef függvény képe az y tengellyel párhuzamosan felfelé tolódik három egységgel. Amikor az „a” értéke mínusz egyszeresére változik, akkor ez eredeti függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.