Ponthalmazok a geometriában

Sportolás közben is körülvesznek minket a geometriai alakzatok. A kalapács körpályán mozog, míg el nem engedi a kalapácsvető, az úszók egyenes pályán úsznak, a futók a kanyarban körív mentén mozognak. Vannak olyan extrém sportok, amelyeknél a gömb is előkerül.
Ebben a videóban a ponthalmazokkal ismerkedhetsz meg.
Foglalkozzunk először a sík ponthalmazaival! Pars Krisztián a dobókörben áll. Nevezzük őt középpontnak. Tőle állandó távolságra mozog a kalapács, amely mozgása közben körvonalat ír le.
Azoknak a pontoknak a halmazát a síkon, melyek egy adott ponttól, a középponttól adott távolságra vannak, körvonalnak nevezzük.
Ha a pontok a sugárnál nem nagyobb távolságra vannak az O ponttól, zárt körlapról beszélünk. Ha kisebb távolságra vannak, akkor O középpontú, r sugarú nyílt körlapot kapunk.
A körhöz kapcsolódik néhány fontos fogalom: sugár, átmérő, húr, szelő, érintő, körív, körcikk, körszelet, körgyűrű.
Most vegyük a sík két különböző pontját! Vajon mi lesz azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a két adott ponttól egyenlő távolságra vannak? Ez a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese!
Vajon három különböző pont esetén mi lesz a ponthalmaz? Ha a három pont egy egyenesre esik, akkor nincs ilyen pont. Ha nem esnek egy egyenesre, akkor a pontok háromszöget határoznak meg. Ha megszerkesztjük a szakaszok felezőmerőlegesét, azt tapasztaljuk, hogy egy pontban metszik egymást. Ez a pont mindhárom csúcstól azonos távolságra van, ez a háromszög körülírt körének középpontja.
Vizsgáljuk most azokat a pontokat a síkban, amelyek két különböző egyenestől egyenlő távolságra vannak.
Ha az egyenesek párhuzamosak, a keresett ponthalmaz a két egyenessel párhuzamos, távolságukat felező középpárhuzamos egyenes. Valahogy így kell úsznia egy olimpiai bajnoknak a sávjában.
Ha az egyenesek nem párhuzamosak, hanem metszők, akkor az egyenesek által bezárt szögek szögfelezői felelnek meg a feltételeknek.
És vajon milyen ponthalmazt alkotnak azok a pontok a síkban, amelyek két különböző sugarú koncentrikus körtől egyenlő távolságra vannak?
Ez a ponthalmaz a két körrel koncentrikusan elhelyezkedő harmadik kör, melynek sugara a két adott kör számtani közepe lesz.
Gondolkodjunk a térben! A térben egy adott ponttól adott távolságra a gömbfelület pontjai vannak.
Gondolj csak bele, mennyi mindennek van gömb alakja! Talán ez a legszabályosabb, legszebb test.
A térben két különböző ponttól egyenlő távolságra lévő pontok a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőleges síkjában vannak.
Végül nézzünk feladatokat!
Keresd meg azokat a pontokat, melyek egy adott e egyenestől 5 cm-re, 5 cm-nél nagyobb, illetve 5 cm-nél nem kisebb távolságra vannak.
Rajzoljunk egy egyenest! Ha az egyenes síkjában keressük a megoldást, akkor két, vele párhuzamos, tőle 5 cm-re lévő egyenest kell rajzolnunk. Az e egyenestől 5 cm-nél nagyobb távolságra azok a pontok vannak, melyek a párhuzamos egyeneseken kívül esnek. Az 5 cm-nél nem kisebb távolságra találhatóak a két párhuzamos egyenes pontjai, valamint az előbb bejelölt piros terület.
A térben egy adott egyenestől 5 cm-re egy hengerfelület pontjai vannak. Az 5 cm-nél nagyobb távolságra lévő pontok a hengeren kívül, az 5 cm-nél nem kisebb távolságra lévő pontok pedig a hengerfelületen vagy azon kívül vannak.
A második már egy összetettebb feladat! Hány olyan pont van a síkon, melyek egy adott e egyenestől 2 cm-re ÉS egy adott P ponttól 5 cm-re helyezkednek el?
Azt már tudod, hogy egy egyenestől 2 cm-re lévő pontok két vele párhuzamos egyenes pontjai. Egy adott P ponttól 5 cm-re lévő pontok pedig egy körvonal pontjai. Azt kell megvizsgálnunk tehát, hogy két párhuzamos egyenesnek és egy körnek hány közös pontja lehet.
Lehet 0, 1, 2, 3, esetleg 4.
A közös pontok száma az adott egyenes és az adott pont távolságától függ.
A mi feladatunknál ez azt jelenti, hogy ha az egyenes és a pont egymástól 7 cm-nél nagyobb távolságra vannak, akkor nincs olyan pont, amely az egyenestől 2 cm-re és a körtől 5 cm-re van, mert a párhuzamos egyeneseknek és a körnek nincs közös pontja. Ha éppen 7 cm a távolság, akkor egy közös pontjuk, ha 3 cm-nél nagyobb és 7 cm-nél kisebb a távolság, akkor két közös pontjuk van. Ha a pont és egyenes távolsága éppen 3 cm, akkor három közös pontjuk van, ha pedig 3 cm-nél kisebb ez a távolság, akkor négy ilyen pontot találunk.