Szöveges példák

Lássunk példát arra, hogyan használhatók az egyenletek, az egyenlőtlenségek és az egyenletrendszerek mindennapi problémák megoldására. Gábornak nem csörgött reggel az ébresztőórája, ezért lekéste a buszt, amellyel osztálykirándulásra mentek. Édesapjával fél órával a busz indulását követően tudtak elindulni autóval, a busszal megegyező útvonalon. Mennyi idő múlva érték utol a buszt, ha a busz átlagsebessége$60{\rm{ }}\frac{{km}}{h}$, míg az autóé $80{\rm{ }}\frac{{km}}{h}$ volt?
Az átláthatóság kedvéért gyűjtsük táblázatba az adatokat! Az egyenletes mozgást jellemző mennyiségek, azaz a sebesség, az idő és az út kerülnek a táblázat felső sorába, míg az autó és a busz a táblázat első oszlopába. Töltsük ki a táblázatot! Az autó és a busz adott sebességét érdemes először beírni. A keresett időt jelöljük x-szel! Az autó x órán át haladt. A busz félórával korábban indult, tehát $x + 0,5$ óra telt el az indulástól a találkozásig. Egyenletes mozgásnál a sebesség és az idő szorzata egyenlő a megtett úttal. Így az autó 80-szor x, míg a busz \(60 \cdot (x + 0,5)\) (ejtsd:60-szor x plusz 0,5) km-t tett meg. Mivel azonos úton haladtak, a találkozásig azonos utat tettek meg, ezért a két kifejezés közé egyenlőségjelet írva x-re kapunk egy elsőfokú egyenletet. Ha megoldjuk az egyenletet, x-re 1,5-öt kapunk. Gábor tehát 1,5 óra múlva éri utol a buszt. Ellenőrzés: Másfél óra alatt az autó $1,5 \cdot 80 = 120km$-t a busz két órán keresztül haladt, és megtett $2 \cdot 60 = 120km$-t. A két jármű által megtett út ugyanannyi, tehát a megoldás helyes.
Réka az új tanévre szeretne egy új cipőt, de már csak két hete maradt az évkezdésig. A cipő 23 ezer forintba kerül, amit diákmunkával szeretne megkeresni. Egy közeli városban talált egy alkalmas munkát, amellyel óránként 400 forintot kereshet, ám az útiköltség naponta 500 forint. Legalább hány órát kell dolgoznia naponta, hogy megkeresse a cipő árát, ha minden nap ugyanannyit szeretne dolgozni, és egy hét 5 munkanapból áll?
A megoldást kezdjük az adatok rögzítésével! Réka 10 nap alatt, 400 forintos órabér mellett, napi 500 forintot útiköltségre költve szeretne legalább 23 000 forintot keresni. Jelöljük x-szel a minimálisan szükséges napi munkaórák számát. Írjuk fel Réka egynapi keresetét! Egy óra alatt keres 400 forintot, azaz x óra alatt x-szer 400-at. Naponta azonban 500 forint az útiköltség, így a naponta ténylegesen megkeresett összeget a kettő különbségeként kapjuk meg. Ezt 10-zel megszorozva megkapjuk, hogy mennyit keresett Réka összesen a két hét alatt. A feladat szerint ennek az összegnek kell elérnie a 23 000 forintot. Ezt a következő egyenlőtlenség fejezi ki: $10\cdot\left( {x\cdot400 - 500} \right) \ge 23000$ (ejtsd: 10-szer, x-szer 400 mínusz 500 nagyobb vagy egyenlő, mint 23 000). Az egyenlőtlenséget megoldva azt kapjuk, hogy $x \ge 7$. (ejtsd: x nagyobb vagy egyenlő, mint 7). Rékának tehát legalább napi 7 órát kell dolgoznia az áhított cipőért.
Egy 20 tömegszázalékos és egy 45 tömegszázalékos sóoldatunk van. Hány kilogrammot kell ezekből összeöntenünk, hogy 30 kilogramm 40%-os sóoldatot kapjunk?
Gyűjtsük ki táblázatba az adatokat! A felső sorban az oldat mennyisége, az oldott anyag tömegszázaléka, majd a mennyisége szerepel, míg az első oszlopban az egyes és kettes számú oldatok és a keverék. Az első oldatból szükséges mennyiség legyen x, míg a kettesből legyen y kilogramm. A keverék mennyisége ismert, ahogy a tömegszázalékok is. Írjuk be ezeket is a táblázatba! Az oldott anyag mennyiségét egyszerű százalékszámítással kapjuk meg. Az első oldat x mennyisége a 100%. Az oldott anyag mennyisége ennek 20%-a. Ezt megkapjuk, ha x-et osztjuk 100-zal, majd szorozzuk 20-szal. A másik két sorban is hasonlóan járunk el. A feladat tehát az x és az y meghatározása. A keverék természetesen a felhasznált két oldat mennyiségéből tevődik össze, ezért az $x + y = 30$ (ejtsd: x plusz y egyenlő 30) egyenlet írható fel. A keverékben összesen annyi só van, mint amennyi a felhasznált oldatokban összesen, ezért a $0,2x + 0,45y = 12$ (ejtsd: 0,2x plusz 0,45y egyenlő 12) egyenlet írható fel. A két egyenlet segítségével x-et és y-t ki tudjuk számítani. Az első egyenletből x-et kifejezve, majd azt a másodikba beírva y-ra egy elsőfokú egyenletet kapunk. Ha ezt megoldjuk, y értéke 24-nek adódik. Ha visszahelyettesítünk az első egyenletbe, x-re 6-ot kapunk. Ellenőrzés: A 20%-os oldatban $6 \cdot 0,2 = 1,2{\rm{ }}kg$ oldott anyag van, a 45%-os oldatban pedig $24 \cdot 0,45 = 10,8{\rm{ }}kg$. A kettő összege 12 kg. A keverék 30 kg-ja tényleg megkapható a 6 és a 24 kg összegeként, a benne lévő oldott anyag tömege pedig $30 \cdot 0,4 = 12{\rm{ }}kg$. Így tehát 6 kg 20%-os és 24 kg 45%-os sóoldatot kell összeöntenünk.