Logaritmus körülöttünk

A matematika a mindennapjaink része. A legtöbb ember azt gondolja, hogy a hétköznapokban csak az alapműveletekre van szüksége, no meg egy kis százalékszámításra. Attól is függhet ennek a véleménynek az elfogadása, hogy ki mennyit szeretne megérteni a körülötte történő eseményekből, a világ minden tájékáról folyamatosan érkező hírekből, információkból.
Három olyan hétköznapi dolgot említünk ebben a tanegységben, amelyek meglepő módon nem az alapműveletekhez, hanem a logaritmushoz kapcsolódnak.
Az egyik a kozmetikumok világa, a másik a földrengésekkel kapcsolatos, a harmadik pedig az emberi érzékelésről, a körülöttünk lévő világ hangosságáról szól.
Első példánkban, a kozmetikumok világában, de olykor más tudományoskodó reklámban is, többször említik egy-egy termék pH-értékét. A kémiából tudjuk, hogy a pH egy olyan szám, ami egy adott oldat savasságát vagy lúgosságát jellemzi. Híg vizes oldatokban a pH-érték az oxóniumion-koncentráció tízes alapú logaritmusának ellentettjével egyenlő, azaz $pH = - \lg x$, ahol x jelöli a koncentráció értékét. A semleges oldat pH-ja 7, a savas közegé 7-nél kisebb, a lúgosé 7-nél nagyobb.
Egy hirdetés szerint a bőr felső rétegének savas kémhatása szükséges ahhoz, hogy a védőfunkcióját elláthassa. A reklámban kínált termék pH-értéke 5,5. Mennyi az oxóniumion-koncentráció ebben a termékben? A következő logaritmusos egyenlet megoldása adja a választ: $5,5 = - \lg x$.
A megoldáshoz először mindkét oldalt megszorozzuk (–1)-gyel, majd alkalmazzuk a tízes alapú logaritmus definícióját. A koncentrációt $\frac{{mol}}{{d{m^3}}}$-ben kapjuk meg. Normálalakban is felírjuk az eredményt.
A második példánk a földrengésekhez kapcsolódik. Az ehhez fűződő élményeink szerencsére nem túl gyakoriak, de a hírekben sokszor hallunk földrengésekről. A rengés erősségét a Richter-skála alapján egy számmal szokták jellemezni. Ezt pontosan körülírt mérésekkel határozzák meg úgy, hogy a rengés középpontjától 100 km-re lévő szabványos szeizmográf által rajzolt ábrát, a szeizmogramot elemzik. Megmérik a legnagyobb kitérést, és annak a tízes alapú logaritmusát veszik. Ha a műszer mutatójának legnagyobb kitérése x mikrométer, akkor a földrengés erőssége a Richter-skálán éppen $\lg x$. Ha például a legnagyobb kitérés 1 cm, akkor azt először mikrométerbe át kell váltani. $1{\rm{ }}cm = {10^4}{\rm{ }}\mu m$, tehát a földrengés erőssége a Richter-skálán $\lg {10^4} = 4$-es fokozatú.
Magyarországon az egyik legnagyobb erősségű rengés 5,6-es fokozatú volt. Mekkora kitérést okoz egy ilyen erejű földrengés a szabványos szeizmográfban? A válaszhoz meg kell oldanunk a $\lg x = 5,6$ egyenletet. A megoldás a tízes alapú logaritmus definíciója alapján 39,8 cm.
A harmadik példánk is a hétköznapokból származik, és a zajjal kapcsolatos. A pszichofizikai törvények szerint az emberi érzékelés nem lineáris, hanem logaritmusos kapcsolatban van az embert érő inger erősségével. A hangforrások hangosságát decibelben szokták megadni. Ha a hangforrás intenzitása egy adott helyen $x{\rm{ }}\frac{W}{{{m^2}}}$, akkor a hangosságát $120 + 10 \cdot \lg x$ decibelnek érezzük. Például a normális hangerejű beszéd esetében 1 méter távolságban $x \approx {10^{ - 6}}$, tehát a beszéd hangossága 60 decibel.
Mekkora lehet annak a hangforrásnak az intenzitása, amelyik már a fájdalomküszöbnek megfelelő hangosságú? A fájdalomküszöb 130 decibel. Egy logaritmusos egyenletet kell ismét megoldanunk. A $10{\rm{ }}\frac{W}{{{m^2}}}$-es intenzitás elképesztően nagy, olyan, mintha egy sivító repülőgépmotortól néhány méterre állnánk. Ekkora intenzitás már halláskárosodással járhat, ahogyan a gyakran és túl hangosan hallgatott zene is.
Nem is kell messzire mennünk, sőt, talán még a lakásból sem kell kilépnünk, és máris komolyabb matematikával találjuk szemben magunkat, mint azt sokan gondolnák.