A logaritmus azonosságai

Mindegyik exponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. Ezért bármelyik exponenciális függvény alapszámát választhatjuk a logaritmus alapjának.
Hogy végül is melyiket választjuk, azt a használat egyszerűsége dönti el. A logaritmus születésekor a kettes alapot választották, de később a tízes számrendszer használata miatt célszerű volt a tízes alapú logaritmusra áttérni.
A tízes alapú logaritmussal a tíz hatványainak a logaritmusa írható fel a legegyszerűbben.
Bármely pozitív szám logaritmusát megkereshetjük, ha elkészül a tízes alapú logaritmusokat tartalmazó logaritmustábla. A táblázat elkészült, sőt „beköltözött” a zsebszámológépekbe is. Onnan egyetlen gombnyomással előhívhatjuk. Írásban az lg jelöléssel hivatkozunk erre az alapra, a tízes alapot nem szoktuk kiírni.
A számológépeken a „log” gombbal tudjuk kiszámolni a tízes alapú logaritmus értékét. Például a 6 tízes alapú logaritmusára sok tizedesjegyet ír ki. Ha tovább dolgozunk ezzel a számmal, akkor nincs semmilyen teendőnk, a gép a sok számjeggyel számol tovább. Írásban az az általánosan elfogadott követelmény, hogy a tizedesvessző után 4 számjegyet írjunk le. Az utolsó számjegy ebben az esetben szabályos kerekítéssel keletkezik.
Izgalmas kérdés, hogy a számológépen nem szereplő alapok esetében hogyan számolható ki a logaritmus értéke. Például mennyi ${\log _2}6$ értéke?
Ehhez egy kicsit számolni kell. Jelöljük a keresett számot m-mel! A logaritmus definíciója miatt ${2^m} = 6$.
A tízes alapú logaritmussal a 2 is és a 6 is felírható hatványalakban: $2 = {10^{\lg 2}}$ (ejtsd: 2=10 a tízes alapú logaritmus 2-on) és $6 = {10^{\lg 6}}$ (ejtsd: 6=10 a tízes alapú logaritmus 6-on). Ha ezeket beírjuk a ${2^m} = 6$ egyenlőségbe, akkor a bal oldalon egy hatvány hatványát kapjuk, amire alkalmazhatjuk a tanult azonosságot.
A kapott egyenlőség pontosan akkor igaz, ha 10 kitevői a két oldalon megegyeznek. Egy osztással máris a kívánt kiszámítási formulához jutottunk. Számológéppel az osztás gyorsan elvégezhető, és azt kapjuk, hogy $m \approx 2,5850$.
Megállapítottuk tehát, hogy ${\log _2}6 = \frac{{\lg 6}}{{\lg 2}}$.
Ez a módszer bármely pozitív szám és bármely logaritmusalap esetén működik, a tízes alapú logaritmus segítségével minden más alapú logaritmus értéke kiszámítható.
Nézzük meg, hogyan gyorsítja meg a számolásunkat a logaritmus használata! Egy jó befektetéssel 150 ezer forintunkat évi 12%-os kamatos kamatra fektettük be. Ha a kamat nem változik, akkor hány év alatt szaporodik fel a tőkénk a háromszorosára?
A kamatos kamatra vonatkozó ismereteink szerint, ha x évig kell várnunk: $150000 \cdot {1,12^x} = 450000$.
Ebből az ${1,12^x} = 3$ exponenciális egyenlethez jutunk.
Azt a kitevőt keressük, amire az 1,12-t hatványozva 3-at kapunk. A logaritmus használatával: $x = {\log _{1,12}}3$. Az előbb kapott szabályunk szerint ez 9,694-del egyenlő. Tehát körülbelül 10 évig várhatunk a befektetésünk megháromszorozódására.
A logaritmussal kapcsolatosan számos érdekes és izgalmas összefüggés létezik. Ezeknek a számológépek megjelenése előtt óriási jelentőségük volt a számítások meggyorsításában. Ez a jelentőségük a gyakorlati életben mára elveszett, matematikai fontosságuk azonban változatlanul megmaradt.
Az érdekes összefüggések közül hármat kiemelten fontosnak gondolunk, ezeket a logaritmus azonosságaiként említjük.
Egy példán megmutatjuk a számológépek korlátait, és azt, hogy a logaritmus azonosságai még a gépeknek is segíthetnek. Írjuk fel a (ejtsd: 31 a 80-adikon) szám normálalakját! A számológépek nagy része túlcsordulást, hibát jelez, mert ez a hatvány túl nagy. Nézzük a hatvány logaritmusát! Ezt könnyedén kiszámítja a számológépünk. A tízes alapú logaritmus ismeretében elég annyit megmondanunk, hogy mennyi a (ejtsd: 10 a 0,309 ezrediken) hatvány értéke. Végül még egy példa, amiben egy különbség pontos értékét kell meghatároznunk, számológép nélkül! Az azonosságok egymás utáni, némi ötletet igénylő alkalmazásával kaphatjuk meg a választ. A logaritmus valóban csodálatos!