Ne csak a hegyesszögnek legyen tangense!

A matematika a közlekedésben is jelen van.
A veszélyes emelkedőt jelző KRESZ-táblán például a százalékban megadott érték nem más, mint a lejtő szögének tangense.
Az emelkedő ugyanis akkor 12%-os, ha a vízszintesen mért 100 m-es távolságra 12 m függőleges emelkedés jut. Az emelkedő α szögének tangense tehát $\frac{{12}}{{100}} = 0,12 = 12\%$ (ejtsd: 12 per 100, az 0 egész 12 század, az 12 százalék), a vízszintessel bezárt szöge pedig ${7^ \circ }$-os.
Minden hegyesszögnek van tangense, ezt a derékszögű háromszög két befogójának hányadosával értelmeztük.
Ez azt is jelenti, hogy ha a hegyesszöget radiánban mérjük, akkor a 0 és a $\frac{\pi }{2}$ (ejtsd: pí per 2) közötti valós számoknak van tangensük. Így például van tangensük a nevezetes szögeknek: $tg\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (ejtsd: tangens pí per 6 az négyzetgyök 3 per 3), $tg\frac{\pi }{4} = 1$, (ejtsd: tangens pí per 4 az 1), $tg\frac{\pi }{3} = \sqrt 3$. (ejtsd: tangens pí per 3 az négyzetgyök 3) Ha a számológépedet RAD állásba kapcsolod, akkor más számok tangensét is megkaphatod. Például ${\rm{tg }}0,4 \approx 0,4228$ (ejtsd: tangens 0,4 az körülbelül nulla egész 4228 tízezred), ${\rm{tg }}1,57 \approx 1256$ (ejtsd: tangens 1,57 az körülbelül 1256).
Egy egyszerű geometriai megfigyelés lehetővé teszi számunkra, hogy a valós számok tangensét ne csak hegyesszögek esetében értelmezzük. Tudjuk, hogy ha a derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszöge melletti befogójának hossza 1 egység, akkor a szöggel szemközti befogó hossza éppen az α tangensével egyenlő. Ha most megfigyeled az origó körül forgó egyenes P pontját, akkor láthatod, hogy az első koordinátája mindig 1, a második koordinátája pedig éppen az elfordulás szögének tangensével egyenlő. Ha például az egyenes éppen ${67^ \circ }$-ot fordult el, akkor a P pont második koordinátája ${\rm{tg }}{67^\circ }$, (ejtsd: tangens 67 fok) ami körülbelül 2,3559. (ejtsd kettő egész 3559 tízezred)
Eddigi megfigyelésünkre alapozva bármely szög esetében azt fogjuk mondani, hogy a szög tangensének nevezzük az elforgatott egyenes és az érintő metszéspontjának második koordinátáját. Például ${\rm{tg }}{\mkern 1mu} {118^\circ } \approx - 1,8807$, (ejtsd: tangens 118 fok az közelítőleg mínusz egy egész 8807 tízezred) vagy ${\rm{tg }}{233^ \circ } \approx 1,327$.
Persze mindennek csak akkor van értelme, ha van metszéspont. Mely szögek esetén nincs metszéspont? Olyan szögek esetén, amelyekre a két egyenes párhuzamos. Ez akkor következik be, ha a forgatott egyenes merőleges az x tengelyre, vagyis a szög ${90^ \circ } + k \cdot {180^ \circ }$ (ejtsd: 90 fok plusz kászor 180 fok), ahol a k tetszőleges egész szám. Végtelen sok szögnek nincs tangense, ezek a derékszög és az ettől a ${180^ \circ }$ egész számú többszöröseivel különböző szögek.
Ha a valós számokra gondolunk, vagyis a szögeket radiánban adjuk meg, akkor azt mondhatjuk, hogy azoknak a valós számoknak nincs tangensük, amelyek $\frac{\pi }{2} + k \cdot \pi$ (ejtsd: pí fél plusz kászor pí) alakban adhatók meg. Itt a k tetszőleges egész számot jelenthet.
A tangensfüggvény értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, amelyeknek van tangensük. A függvény hozzárendelési szabálya: $x \mapsto {\rm{tg }}x$ (ejtsd: x nyíl tangens x).
A tangensfüggvény legfontosabb tulajdonságait a grafikon alapján is megállapíthatjuk. A tangensfüggvény értékkészlete a valós számok halmaza, tehát nincs sem maximuma, sem minimuma. Periodikus függvény, a periódusa $\pi$. (ejtsd: pí) A tangensfüggvény zérushelyei a $\pi$ szám egész számú többszörösei.
A hegyesszögek tangensére igaz volt, hogy a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő. Ez a tulajdonság továbbra is érvényben van. Ha ugyanis az x olyan valós szám, amelyre $\cos x \ne 0$ (ejtsd: koszinusz x nem egyenlő nullával), akkor a ${\rm{tg }}x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$ (ejtsd: tangens x egyenlő szinusz x per koszinusz x) összefüggés is igaz.
Hosszú és meredek volt az emelkedő, amelyen elindultunk, de magasra jutottunk. Innen szép kilátás nyílik még a tangensfüggvényre is.