Trigonometrikus egyenletek megoldása

A mindennapokban is többször találkozunk olyan jelenségekkel, amelyek periodikusan ismétlődnek. Persze nem a pontos matematikai fogalomra gondolunk, csupán azt akarjuk kifejezni, hogy szabályos időközönként ugyanaz történik. Ha azt kérdezi valaki, hogy az elmúlt két évben mely napokon mostál fogat, akkor erre a kérdésre bizonyára éppen 730 különböző napot kellene megnevezned, esetleg 731-et. Természetes a kérdésre adott sok megoldás, hiszen periodikus eseményről van szó. Így van ez a periodikus függvények esetében is.
Első példaként határozzuk meg, hogy melyek azok a szögek, amelyeknek a szinusza 0,5. Legalább két szöget gyorsan találunk: a ${30^ \circ }$-ot és kiegészítő szögét, a ${150^ \circ }$-ot. Ezeken kívül azonban még végtelen sok szög van, amely megoldása a $\sin \alpha = 0,5$ (ejtsd: szinusz alfa = 0,5) trigonometrikus egyenletnek.
Melyek ezek a szögek? Emlékezz vissza a szögek szinuszának definíciójára! Ha az egység sugarú körön az (1; 0) (ejtsd: egy, nulla) pontot úgy forgatjuk el, hogy az ábra szerinti P pontba vagy ${P_1}$ pontba kerül, akkor az elforgatás szögének szinusza éppen 0,5. A $\sin \alpha = 0,5$ egyenlet megoldásai tehát az $\alpha = {30^ \circ } + k \cdot {360^ \circ }$ (ejtsd: alfa egyenlő 30 fok plusz k-szor 360 fok) alakban felírható szögek és az $\alpha = {150^ \circ } + k \cdot {360^ \circ }$ alakban felírható szögek is. Mindkét eset végtelen sok megoldását adja az egyenletnek.
Második példaként oldjuk meg a valós számok halmazán a $\cos x = - \frac{1}{2}$ (ejtsd: koszinusz x = mínusz egyketted) egyenletet!
Figyelj, mert az alaphalmaz a valós számok halmaza, tehát ha szögekre gondolsz megoldásként, akkor azokat radiánban kell megadnod, nem pedig fokban!
Az egyenlet megoldását grafikus módszerrel adjuk meg. Szükségünk van a koszinuszfüggvény grafikonjára, továbbá az x tengellyel párhuzamosan húzott egyenesre. Jól látható, hogy minden perióduson belül két különböző megoldás van, és megkapjuk az összes megoldást úgy, hogy ezekhez hozzáadjuk a $2\pi $ (ejtsd: két pí) egész számú többszöröseit. A közös pontok koordinátái tehát két csoportba foghatók, ezek adják a trigonometrikus egyenlet megoldásait.
Harmadik példánkban két szögfüggvény is szerepel.
Ha olyan számot írunk be az x helyébe, amelynek a koszinusza 0, akkor a bal oldalon a szinusz értéke 1 vagy –1 lesz, tehát ez a szám nem lehet megoldása az egyenletnek. Ha pedig $\cos x \ne 0$ (ejtsd koszinusz x nem egyenlő 0-val), akkor az egyenlet mindkét oldalát $\cos x$-szel osztva egyenértékű egyenlethez jutunk.
A tanult azonosság szerint ez egy tangensfüggvényre vonatkozó egyenletre vezet.
A tangensfüggvény periodikus és a periódusa $\pi $. Minden perióduson belül egyetlen valós szám van, amelynek a tangense 1,5, például a 0,9828. (ejtsd: nulla egész 9828 tízezred) Az egyenlet végtelen sok megoldása ezzel már felírható.
A megoldásokat fokokban így adhatjuk meg.
A bonyolultabb trigonometrikus egyenletek megoldása sokszor visszavezethető az előző három típusra. Nézzünk erre is két példát!
Oldjuk meg a $2 \cdot {\sin ^2}x - \sin x = 0$ (ejtsd: kétszer szinusz négyzet x mínusz szinusz x egyenlő 0) egyenletet a valós számok halmazán!
A $\sin x$ kiemelhető, így a bal oldal szorzat alakba írható.
A szorzat pontosan akkor lehet 0, ha egyik tényezője 0.
A $\sin x = 0$ egyenlet megoldásai a szinuszfüggvény zérushelyei,
a $2 \cdot \sin x - 1 = 0$ egyenlet pedig egy már megoldott problémához vezet. Csak annyit kell tennünk, hogy az 1. példa fokokban megadott megoldásait radiánokban adjuk meg.
A 4. példa megoldásai tehát három csoportban adhatók meg.
Az utolsó, 5. példában először reménytelennek tűnhet a helyzet, de egy kis emlékezéssel máris minden probléma eltűnik.
Tudjuk, hogy ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ (ejtsd: szinusz négyzet x + koszinusz négyzet x = 1) mindig igaz, ezért az egyenlet jobb oldalán a ${\sin ^2}x$ helyett $1 - {\cos ^2}x$ írható.
Ha az egyenletet 0-ra rendezzük, akkor új ismeretlen bevezetésével egy másodfokú egyenlethez jutunk.
A megoldóképletet alkalmazzuk.
A $\cos x$-re tehát két érték adódott.
A második eset lehetetlen, hiszen a számok koszinusza nem lehet mínusz egynél kisebb. Az első esetet már megoldottuk a 2. példában, elég csak idemásolni a megoldásokat. Ezek a számok adják az eredeti egyenletünk megoldásait is.
A megoldott trigonometrikus egyenleteknek végtelen sok megoldása volt. Ha azonban az alaphalmaz más, például csak a konvex szögek között keresünk megoldásokat, akkor ezek száma véges is lehet.