Thalész tétele

A Thalész-tétel a matematika legrégebben kimondott tételei közé tartozik. Milétoszi Thalész a milétoszi iskola alapítója volt. Ő mondta ki és bizonyította be a következő, róla elnevezett tételt: Ha egy kör átmérőjének két végpontját, A-t és B-t, összekötjük a körvonal A-tól és B-től különböző tetszőleges C pontjával, akkor az ABC háromszög C-nél lévő szöge derékszög lesz.
Nézzük a Thálész tétel megfordítását! Ha egy AB szakasz két végpontja egy C pontból derékszög alatt látszik, akkor a C pont rajta van az AB szakasz köré mint átmérő köré rajzolt köríven. Ebből az is következik, hogy ha az AB szakaszt egy pontból nem derékszög alatt látjuk, akkor az a pont a szakasz fölé rajzolt Thalész-körön belül, vagy kívül helyezkedik el. Ha hegyesszögben látjuk, akkor a körön kívül, ha tompaszögben, akkor a körön belül van. A Thalész-tétel bizonyításának is több megfogalmazása van. Érdemes a szakirodalomban utánanézni.
A Thalész-tétel alkalmazási lehetőségei A tétel a geometria egy fontos alaptétele. Segítségével megszerkeszthetjük például két szakasz mértani közepét. Két nem negatív szám mértani közepe egyenlő a két szám szorzatának a négyzetgyökével. A jele G, mert geometriai középnek is nevezik. A mértani közép értékét számolással is meghatározhatjuk, ha a két szám szorzatából négyzetgyököt vonunk. Ha $a = 4$ és $b = 9$, akkor a mértani közepük négyzetgyök alatt négyszer kilenc, egyenlő négyzetgyök harminchat, azaz hat. Szakaszok estén azonban, ahol a mérés pontatlanságot eredményezne, célravezetőbb a mértani közép szerkesztése. Erre ad lehetőséget a Thalész-kör. Ha a két szakaszt, p-t és q-t egymás után felmérjük egy egyenesre, és a keletkezett AB szakasz köré – ahol $AB = p + q$ – mint átmérő köré kört rajzolunk, akkor a két szakasz közös végpontjában állított merőleges egyenes talppontja és az általa a körvonalból kimetszett pont közötti szakasz pontosan az adott két szakasz mértani közepe. Másképpen a keletkezett derékszögű háromszög magassága a két szakasz mértani közepe. A szerkesztés jól szemlélteti a számtani közép és a mértani közép kapcsolatát is. A mértani közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani és a mértani közép pontosan akkor egyenlő a számtani középpel, ha á egyenlő bével. Ezzel a módszerrel bármely racionális és irracionális mérőszámú szakasz hossza megszerkeszthető, ha az egyik szakaszt egységhosszúságúnak vesszük.
A tétel egy másik gyakori alkalmazása az egy adott körhöz külső pontból húzható érintők szerkesztése. Mivel az érintő és a kör sugara merőleges egymásra, a szerkesztéshez a Thálesz kört, mint segédkört rajzoljuk meg. Ha összekötjük a külső P pontot a kör középpontjával, O-val, és az OP szakasz köré, mint átmérő köré kört rajzolunk, akkor a körvonal és az eredeti kör metszéspontja adja az érintési pontokat, ${E_1}$ -t és ${E_2}$-t, amelyeket már csak össze kell kötni P-vel.