A kúp tulajdonságai

A kúp olyan kúpszerű test, aminek az alaplapja kör. Az egyenes kúp csúcsának merőleges vetülete az alaplapon az alapkör középpontja. Az ilyen kúp alkotói egyenlők. Egyenes kúpot (más néven forgáskúpot) kapunk, ha egy derékszögű háromszöget megforgatunk az egyik befogója körül. A ferde kúp alkotói különböző hosszúságúak. Akár egyenes, akár ferde a kúp, a térfogatát ugyanúgy kell kiszámolni, mint a gúláét: alapterület szorozva magassággal, osztva hárommal. Az alapterület a kúp esetében kör. Az egyenes kúp felszíne az alaplap és a palást területének az összege. A palást körcikk alakú. A körcikk sugara egyenlő a kúp alkotójával, körívének hossza pedig ugyanakkora, mint az alapkör kerülete. A körcikk területét megkapjuk, ha a körív hosszát megszorozzuk a kör sugarával és elosztjuk kettővel. Ezek alapján a forgáskúp felszíne $r \cdot \pi \cdot \left( {r + a} \right)$. Alkalmazzuk a kapott képleteket feladatokban!
12 cm sugarú, negyedkör alakú filclapból mikulást készítünk. Milyen magas és milyen széles lesz a mikulásunk?
A negyedkör sugara a kúp alkotója. Az a sugarú kör kerületének negyedrésze az alapkör kerületével egyenlő. Ebből az következik, hogy a sugár az alkotó negyede. A kúp szélessége egyenlő a sugár kétszeresével, tehát 6 cm. Az egyenes kúp alapkörének sugara, magassága és alkotója derékszögű háromszöget alkot. Ha a három szakasz közül 2 ismert, akkor a harmadikat Pitagorasz tételével kiszámolhatjuk. A filcmikulás szélessége 6 cm, magassága 11,6 cm.
Téglatest alakú viasztömbből kúp alakú gyertyákat szeretnénk önteni. A téglatest egy csúcsba futó élei 20, 10 és 8 cm-esek. A gyertyák magassága 7 cm, alapkörük átmérője 6 cm. Hány gyertyát tudunk készíteni?
Számoljuk ki mindkét test térfogatát! A téglatest térfogata $a \cdot b \cdot c$, azaz $1600{\rm{ }}{cm^3}$. A kúp alapkörének a sugara az átmérő fele. A térfogatot megkapjuk, ha a kör területét megszorozzuk a magassággal, majd osztjuk 3-mal. A gyertyák száma a két térfogat hányadosa. Tehát 24 kúp alakú gyertyát tudunk önteni a viaszból.
Érdekes jelenség, hogy a homokbuckák mind hasonlók egymáshoz. Mindegy, hogy egy vödör homokot öntünk ki vagy egy teherautóról szórják le azt, mindenképpen olyan kúp alakul ki, amelynek az alkotói 31 fokos szöget zárnak be a vízszintessel. Számítsuk ki, hogy milyen magas és milyen széles az a homokdomb, amiben $12{\rm{ }}{m^3}$ homok van!
A térfogat képletében két ismeretlenünk is van: a magasság és az alapkör sugara. Az adott szög tangensével tudunk ezek között kapcsolatot teremteni. A térfogat értékét és a most kapott magasságot behelyettesítjük a kúp térfogatképletébe. A sugár ismeretében a magasságot is meg tudjuk határozni. Azt kaptuk, hogy a $12{\rm{ }}{m^3}$-es homokkúp magassága 1,61 méter, szélessége 5,34 méter.
Egy forgáskúp kiterített palástja olyan körcikk, amelynek a középponti szöge ${150^ \circ }$, a sugara 10 cm. Mekkora a kúp térfogata és a nyílásszöge? A körcikk sugara a kúp alkotója, a körcikket határoló körív hossza pedig a kúp alapkörének a kerülete. Ugyanez a körív az a sugarú körnek $\beta $ középponti szögéhez tartozó íve. Egyenlővé tesszük a kétféle felírást. Ha $2\pi $-vel egyszerűsítünk, megkapjuk, hogy milyen kapcsolat van az alkotó, a sugár és a középponti szög között. A térfogat kiszámításához a test magasságára is szükségünk van. Pitagorasz tétele alapján ez a szakasz 9,09 cm. A kúp térfogatát most már ki tudjuk számolni.
A kúp nyílásszögéről eddig még nem beszéltünk. Lássuk, hogy mi is az! Ha az egyenes kúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely tartalmazza a magasság egyenesét, akkor egy egyenlő szárú háromszöget kapunk. Ez a kúp tengelymetszete. Ennek a háromszögnek az alapja a kúp átmérője, szárai a kúp alkotói. A szárak által bezárt szög a kúp nyílásszöge. Az $\alpha $-val jelölt nyílásszög felének kiszámításához bármelyik szögfüggvényt felhasználhatjuk. Például a szög szinusza a sugár és az alkotó hányadosa. A keresett nyílásszög ${49,3^ \circ }$.
Foglaljuk össze, mik az egyenes kúppal kapcsolatos legfontosabb tudnivalók! Ismerjük a térfogatát, a felszínét. Tudjuk, hogy a magasság, az alkotó és az alapkör sugara derékszögű háromszöget alkot. Ennek a háromszögnek az egyik hegyesszöge a fél nyílásszög. A kiterített palást középponti szöge összefüggést teremt az alkotó és az alapkör sugara között.