Amit a gúláról tudni érdemes

A minket körülvevő világban gyakran találkozunk gúla alakú építményekkel, használati tárgyakkal.
A vízmolekulák fagyáskor egymáshoz kapcsolódva tetraéderes alakzatba rendeződnek. Ez az elrendezés teszi lehetővé a rendkívül változatos alakú hópelyhek kialakulását. Az amerikai Bentley 5000 hópelyhet fotózott le, és nem talált közöttük két egyformát.
A következő feladatokban a gúlákat járjuk körbe. A testek fontos jellemzője a felszín. A gúlák felszíne az alaplap és a palást területéből áll. Az alaplap sokszög, a palást pedig annyi háromszögből tevődik össze, ahány oldalú a sokszög. Ha a gúla szabályos, a háromszögek egybevágók. Ha a gúla nem szabályos, az oldallapok különbözők.
A gúlák térfogatának vizsgálatát kezdjük a tetraéderrel! Minden háromszög alapú hasáb felbontható három, egyenlő térfogatú tetraéderre. Egy ilyen felbontást mutat az ábra. A hasáb térfogatképletét ismerjük. Ha ezt elosztjuk 3-mal, megkapjuk a tetraéder térfogatát. A többi gúla térfogata is ugyanígy számolható ki.
Alkalmazzuk a képleteket feladatokban! Kezdjük egy négyoldalú szabályos gúlával, aminek az alapéle 3 cm, a magassága 4 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne? A térfogat kiszámítása egyszerű, mert az alaplap négyzet, a területe $9{\rm{ }}c{m^2}$, a magasságot is ismerjük. A felszínhez szükségünk van az oldallapok területére. Az oldallapok egybevágó, egyenlő szárú háromszögek. Egy ilyen háromszög területét könnyen meg tudnánk határozni, ha ismernénk a magasságát. Van az ábrán egy olyan derékszögű háromszög, aminek két oldalát ismerjük, a harmadik oldala pedig a keresett ${m_o}$. A derékszögű háromszög ismeretlen oldalát Pitagorasz tételével számolhatjuk ki. A palást 4 oldallapból áll, ezeknek a területét hozzáadjuk az alaplap területéhez: ez lesz a gúla felszíne. Arra figyelj az ilyen feladatoknál, hogy a test magassága és az oldallap magassága különböző!
Vizsgáljuk meg, hogy mekkora szöget zár be a gúla oldaléle az alaplappal és az oldallap az alaplappal! Egyenes és sík hajlásszöge az a szög, amit az egyenes a síkra eső merőleges vetületével bezár. Az oldalél merőleges vetülete az alaplapon a négyzet átlójának a fele, ezt a szakaszt jelöljük g-vel. A test magassága az $\alpha $ szöggel szemközti befogó, a g szakasz a szög melletti befogó. Ezeknek a hányadosa az $\alpha $ szög tangense. Két sík hajlásszögét úgy kapjuk meg, ha a síkok metszésvonalának egy pontjában merőlegest állítunk a metszésvonalra mindkét síkban. Az így kapott egyenesek szöge a keresett hajlásszög. A gúla alaplapjának és egy oldallapjának a metszésvonala az egyik alapél. Erre merőleges az oldallapon az oldalháromszög magassága, az alaplapon a középvonal. Ismét a tangens szögfüggvényt hívjuk segítségül. Az oldallap és az alaplap hajlásszöge tehát ${69,44^ \circ }$. Ha a testben szöget kell meghatározni, keresd meg a legmegfelelőbb síkmetszetet! Így síkgeometriai problémára vezetheted vissza a feladatot.
Egy templomtorony teteje szabályos nyolcszög alapú gúla. A gúla alapéle 2 m, magassága 6,5 m. Mennyi rézlemezre van szükség a lefedéséhez? Az oldallapokat kell lefedni, tehát a palást területét fogjuk kiszámolni. Az oldallapok egybevágó, egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek csak az alapját ismerjük. Keressünk olyan derékszögű háromszöget, aminek az egyik oldala az oldallap magassága! Az OFC háromszög éppen ilyen. Ennek az egyik befogója a test magassága, a másik pedig az alaplapon a k-val jelölt szakasz. A k nagysága tangens szögfüggvénnyel határozható meg. Pitagorasz tétele most sem maradhat ki: a segítségével megkapjuk az oldallap magasságát. Egy oldallap területének a nyolcszorosa a palást területe. Azt kaptuk, hogy $56{\rm{ }}{m^2}$ lemez kell a templomtorony tetejének lefedéséhez.
Végül próbálj válaszolni a következő kérdésre! Az óceánon négy vízi jármű halad ugyanakkora sebességgel, egy irányban, mindegyik a másiktól egyenlő (1 km) távolságra. Az egyik halászhajó, a másik motorcsónak, a harmadik vitorlás. A negyedik jármű micsoda? Aki még nem hallotta ezt a fejtörőt, nem biztos, hogy gyorsan rájön a megoldásra. A 3 hajó egy síkban van. Sokan itt, a víz felszínén keresik a negyediket is, de hiába. Nem lehetséges, hogy a síkban négy pont egyenként egyforma távolságra legyen egymástól. Ha kilépünk a síkból, a víz alatt megtaláljuk a tengeralattjárót. A négy vízi jármű szabályos tetraédert alkot.