A henger térfogata és felszíne

A henger a természetben és a használati tárgyaink között is gyakori test. Térgeometriai feladatokban szintén sokszor találkozhatsz ezzel a mértani testtel. Ebben az anyagban a henger alakú testek felszínét és térfogatát számoljuk ki. A henger lehet egyenes és ferde, de ha nem hangsúlyozzuk ki, hogy a test ferde, akkor egyenes hengerre gondolj! Az egyenes körhenger, forgáshenger, henger kifejezéseket egymás szinonimáiként használjuk.
Egy henger kiterített palástja 20 cm oldalú négyzet. Mekkora a felszíne és a térfogata?
A palást egyik oldala a henger magassága, másik oldala az alaplap kerülete. Mindkettő 20 cm-es. Először az alapkör sugarát számoljuk ki. A $\pi $ irracionális szám, 3,14-ra kerekítjük. A henger térfogatát és felszínét ugyanúgy kell kiszámolni, mint a hasábét, hiszen mindkettő hengerszerű test. A henger alaplapja kör, emiatt a képleteket átalakíthatjuk. A sugár kiszámítása után minden szükséges adatot ismerünk, csak a behelyettesítéseket kell elvégezni.
Egy henger alakú lábas alapkörének átmérője 20 cm, magassága 15 cm. Belefér-e 4 liter húsleves? Az egyenes körhenger térfogatát kell meghatároznunk. A kör átmérőjének a fele a képletekben szereplő sugár. Az adatok cm-ben vannak megadva. Ha ezekkel számolunk, a térfogat mértékegysége ${cm^3}$ lesz. Tudod, hogy 1 l hány ${cm^3}$? Talán emlékszel még általános iskolából: az 1 dm élű kocka űrtartalma 1l. Ez azt jelenti, hogy 1 l éppen 1 ${dm^3}$, ami 1000 ${cm^3}$. Az edény 4,7 literes, tehát belefér a 4 l húsleves.
Kör alakú, 3,5 m átmérőjű, 1 m mély medencénket szeretnénk 80 cm magasságig megtölteni vízzel. Mennyi ideig fog ez tartani, ha a csapból 1 perc alatt 40 l víz folyik ki?
Ismét egy henger alakú használati tárgy! Ismerjük az átmérőjét és a magasságát. Nekünk a 80 cm magas vízmennyiség térfogatára van szükségünk, ezért az ábrán a henger magassága 80 cm. A cm-t átváltjuk méterbe. Alkalmazzuk a henger térfogatképletét! Az eredményt ${m^3}$-ben kaptuk meg, átváltjuk literbe. Minél hosszabb ideig van nyitva a csap, annál több víz folyik a medencébe. Az idő és a csapból kifolyó víz mennyisége egyenesen arányosak. Azt kaptuk, hogy a medence több mint 3 óra alatt telik meg.
Mekkora a tömege annak az 5 m-es rézcsőnek, aminek a külső átmérője 16 mm és a falvastagsága 1 mm? A réz sűrűsége $8960{\rm{ }}\frac{{kg}}{{{m^3}}}$. A tömeg a sűrűség és a térfogat szorzata, így tanultad fizikaórán. A cső térfogata két henger térfogatának a különbsége. A nagyobb alapkörének a sugara a külső átmérő fele, a kisebbé 1 mm-rel kevesebb. A mértékegységek nem maradhatnak így. Célszerű minden távolságot cm-be váltani! A sűrűséget pedig számoljuk át $\frac{{kg}}{{c{m^3}}}$-be! $1{\rm{ }}{m^3}$1000∙1000, vagyis $1 000 000{\rm{ }}{cm^3}$, ezért osztani kell 1 000 000-val. A térfogatot gyorsabban kiszámolhatjuk, ha a különbségben kiemeljük a közös tényezőket. A mértékegységek most már rendben vannak, kg-ban kapjuk meg az eredményt. Az 5 m-es rézcső kicsit több mint 2 kg.
Egy fekvő henger alakú víztartály a függőleges átmérőjének a$\frac{3}{4}$ részéig van vízzel. Mennyi víz van benne, ha a henger alapkörének sugara 50 cm, a tartály hossza, azaz a henger magassága 120 cm?
A hengernek az a része, amiben víz van, egyenes hengerszerű test. A térfogatát úgy számoljuk ki, hogy az alapterületét megszorozzuk a magasságával. Vizsgáljuk meg az alaplapot! Ez egy körszelet, ami egy háromszögből és egy körcikkből áll.
A terület kiszámításához szükségünk van az $\alpha $-val jelölt szögre. Ezt szögfüggvénnyel tudjuk meghatározni. Ismerjük a szög melletti befogót és az átfogót. A kettő hányadosa a szög koszinusza.
A háromszög területét a trigonometrikus területképlettel számoljuk ki. A körcikk területe egyenesen arányos a középponti szögével. De mekkora a középponti szög, ami nekünk kell? A 120 fokos szöget kiegészíti 360 fokra, vagyis 240 fokos. A hengerszerű test alaplapjának területét ezzel meghatároztuk. Megszorozzuk a test magasságával, és már készen is vagyunk. Körülbelül 758 liter víz van a tartályban.
Az egyenes körhenger térfogatát és felszínét érdemes kívülről megtanulni. Akár még a hétköznapokban is hasznát veheted ezeknek a képleteknek! A hengerszerű testekre vonatkozó összefüggéseket is tartsd fejben!