Hasábok felszíne és térfogata

A hasábok olyan testek, amelyeknek az alaplapja és a fedőlapja 2 egybevágó sokszög. Oldallapjai téglalapok, ekkor a hasáb egyenes; vagy paralelogrammák, ekkor a hasáb ferde. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiszámítani a hasábok felszínét és térfogatát!
Egy test felszíne a határoló felületek területének az összege. A térfogat definíciója kicsit összetettebb. Minden testhez egyértelműen hozzárendelhető a térfogata, ami nemnegatív szám. A térfogat 3 tulajdonsággal rendelkezik, ezek a következők: Az egységnyi oldalélű kocka térfogata egy. Ha két test egybevágó, akkor a térfogatuk is egyenlő. Végül: ha egy testet részekre bontunk, akkor a részek térfogatának összege egyenlő az eredeti test térfogatával.
Első feladatunk egy kockára vonatkozik. Ismerjük a lapátlóját. Számoljuk ki a felszínét, a térfogatát és a testátlóját!
Első lépésként a kocka élét kell kiszámolni. Ha egy derékszögű háromszögben keresed valamelyik oldalt, mindig jusson az eszedbe Pitagorasz tétele.
A kocka felszínére és térfogatára vonatkozó összefüggéseket már általános iskolában is tanultad. Behelyettesítünk az ismert képletekbe. Az eredményt általában elég századra kerekítve megadni.
A kocka testátlóját is Pitagorasz tételével tudjuk kiszámolni, mert a testátló, a lapátló és egy oldalél derékszögű háromszöget alkot. Számoljuk ki azt is, hogy a testátló és a lapátló mekkora szöget zárnak be egymással! Az ABC derékszögű háromszög C csúcsnál levő szögét keressük. Ismerjük az oldalait. A keresett szöget számoljuk ki például a szinusz szögfüggvénnyel! A szögfüggvény értékét 4 jegy pontossággal írjuk le. A kockák mind hasonlók egymáshoz, ezért a testátló és a lapátló hajlásszöge minden kocka esetén közelítőleg 35 fok.
Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapéle 10 cm, térfogata $3000{\rm{ }}c{m^3}$. Mekkora a test felszíne?
A hasábok térfogata az alaplap területének és a test magasságának a szorzata. A felszín pedig ebben az esetben két szabályos hatszög és hat téglalap területének az összege. A téglalapok területéhez ismernünk kell a hasáb magasságát. Ezt a térfogatból tudjuk kiszámolni. Először meghatározzuk az alapterületet. A szabályos hatszög 6 darab szabályos háromszögből áll. Egy ilyen háromszög területe kiszámolható az $\frac{{\left( {a{}^2 \cdot \sin \alpha } \right)}}{2}$ összefüggés alapján. A térfogat és az alapterület ismeretében meg tudjuk határozni a test magasságát. A palást egy olyan téglalapnak tekinthető, aminek az egyik oldala az alaplap kerülete, a másik oldala a test magassága. A megoldás közben használt térfogat- és felszínképlet minden hasábra érvényes.
Egy folyó mellett új gátat építenek. A gát magassága 5 m. A koronája, vagyis a teteje 5 m széles, az alapja pedig 35 m széles. Hány ${m^3}$ föld kell a gát 1 km hosszú szakaszának elkészítéséhez?
A gát tulajdonképpen egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb, csak az oldalélek nem függőlegesek, hanem vízszintesek. A geometriai feladatok megoldásának egyik kulcsa a jó ábra. Először csak a trapézt rajzoljuk meg, felvesszük az adatokat. Az alaplap területe a trapéz területképletével határozható meg.
Figyelj! A test magasságát, vagyis a gát hosszát nem jelölhetjük m-mel, mert az már foglalt. Legyen M! A mértékegységekre is figyelni kell! A hasáb térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatával. Azt kaptuk, hogy $100000{\rm{ }}{m^3}$ földre van szükség a gát 1 km-es szakaszának megépítéséhez.
A lakás festését sok családban házilag végzik. Most egy négyszer öt méteres szobát kell kifesteni. A helyiség magassága 2,3 m. Mennyi festékre van szükség a munka elvégzéséhez, ha 1 l festék $8{\rm{ }}{m^2}$ felületre elég? Az ajtó és ablak területe együtt $3{\rm{ }}{m^2}$, a mennyezetet is befestjük. Az eredmény egész szám legyen!
A szoba téglatest alakú, ismerjük az éleit. Készítsünk ábrát és jegyezzük le az adatokat!
Befestjük a téglatest határoló lapjait, azaz a felületét. Lényegében tehát a felszínt kell kiszámolni, egy kis módosítással. A padlót ugyanis nem festjük be, ezt a lapot nem kell beleszámítani. Négy oldalfal van és a plafon. El ne felejtsük az összegből kivonni az ablak és az ajtó területét! Az eredményt elosztjuk 8-cal, mert 1 l festék $8{\rm{ }}{m^2}$ falra elég. 7,3 l festék elég lenne, de 8 litert kell venni.