A mértani testek csoportosítása

A természet formái között találkozhatunk hasábokkal, hengerekkel, gömbökkel, kúpokkal és más mértani testekkel. Ezeket az alakzatokat láthatták az emberek évezredekkel ezelőtt is. A minket körülvevő tárgyak tulajdonságai alapján alakultak ki a térgeometriai fogalmaink.
A matematikában a test a térnek felületekkel körülhatárolt része. A mértani testeket többféleképpen csoportosíthatjuk. Az egyik felosztáshoz a test felületét vizsgáljuk meg. Azokat a testeket, amelyeket csak sokszöglapok határolnak, poliédereknek nevezzük. A poliéder jellemzői: csúcs, él, lap, lapátló, testátló. Vannak olyan testek is, amelyeket síkidomok és görbült felületek határolnak. Végül vannak olyanok is, amelyeket csak görbült felületek határolnak.
Azok között a testek között, amelyek nem poliéderek, találunk olyanokat, amelyeknek a felülete síkba kiteríthető, és olyanokat is, amelyeknek a felülete nem teríthető ki síkba. A kiteríthetőség a felszín kiszámítása miatt fontos. A testek felszíne a határoló lapok területének összege. Amelyik test síkba kiteríthető, annak a felszíne az így kapott síkidomok területének az összege. Ha nem teríthető ki a síkba a test, nehéz meghatározni a felszínét. A középiskolai matematikában csak a gömb és annak a részei ilyen tulajdonságúak.
Csoportosíthatjuk a testeket a származtatásuk szerint is. Ha egy síkidom kerületén önmagával párhuzamosan végigvezetünk egy olyan egyenest, amelynek egy közös pontja van a síkkal, akkor végtelen hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal, így hengerszerű test keletkezik. A végigvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közé eső szakasza az alkotó. A két sík távolsága a magasság. Ha az alkotók merőlegesek az alaplapra, a test egyenes, ha nem, akkor ferde.
Ha az alaplap kör, a test neve henger, ha az alaplap sokszög, akkor pedig hasáb.
Ha egy síkidom kerületén úgy vezetünk végig egy egyenest, hogy az állandóan illeszkedjen egy, a síkidom síkján kívüli pontra, akkor kúpszerű testet kapunk. A csúcspont és az alaplap távolsága a test magassága. Ha a csúcspontot összekötjük az alaplap kerületi pontjaival, akkor alkotókat kapunk.
A kúpszerű test kúp, ha az alaplap kör, gúla, ha az alaplap sokszög.
A kúp lehet egyenes vagy ferde.
Szabályos gúláról akkor beszélünk, ha az alaplapja szabályos sokszög és az oldalélei egyenlők. Csonka kúpszerű testet kapunk, ha a kúpszerű testet elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal. A csonka test lehet csonka gúla vagy csonka kúp is.
Egyik eddigi csoportba sem sorolható be a gömb. A gömbfelület olyan pontok halmaza a térben, amelyek egy adott ponttól, a középponttól egyenlő távolságra vannak. Ha egy kört megforgatunk valamelyik átmérője körül, akkor gömböt kapunk.
Szabályos testek a poliéderek közül azok, amelyeknek a lapjai egybevágó, szabályos sokszögek, valamint az élszögei és a lapszögei is egyenlők. Összesen 5 szabályos test van. Az elnevezésük a görög számnevekből származik.
Az ismert testek mellett sok különleges mértani test van. Közülük három olyat vizsgálunk meg, amelyeket magyar tudósok fedeztek fel.
A Szilassi-poliéder egy konkáv poliéder hét hatszögletű lappal. A tetraéder mellett az egyetlen olyan poliéder, amire teljesül, hogy bármelyik két lapjának van közös éle. Nevét Szilassi Lajos magyar matematikusról kapta, aki az alakzatot 1977-ben fedezte fel.
A Császár-féle test nemkonvex poliéder. 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A nevét a felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.
És végül ismerkedj meg a gömböccel! A gömböc egy konvex, homogén, háromdimenziós test, amelynek az a specialitása, hogy összesen két: egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. A stabil helyzet az, amit a képek mutatnak. Az instabil ugyanez fejjel lefelé fordítva. Itt elvben meg tudna állni, de bármely kis mozgás kibillenti ebből a helyzetből. Ezt a különleges testet Várkonyi Péter és Dr. Domokos Gábor, a BME oktatói fedezték fel 2007-ben.