A kör és a részei

Tiszta csillagfényes éjszakán felnézve az égre, ha szerencsések vagyunk, szép teliholdat látunk. Bár tudjuk, hogy gömb alakú égitestről van szó, de mi egy körnek lájuk, amely aztán fogyni kezd, majd újra megtelik. Ismerkedjünk meg ezzel a szép formával, amely az építészeket is oly sokszor ámulatba ejtette, hogy gyakran felhasználták a munkáikban! A definíció szerint a körvonal azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy ponttól – a kör középpontjától – azonos távolságban helyezkednek el. A középpontot O-val (nagy ó betűvel) vagy C (nagy c betűvel), szokás jelölni, a centrum szó után, a távolságot r-rel, ami a kör sugara, azaz a rádiusz. Hasonló definíció szerint, a körlap azon pontok halmaza a síkban, amelyek O-tól, a kör középpontjától r vagy annál kisebb távolságra helyezkednek el.
Hogyan viszonyulhat egymáshoz egy kör és egy egyenes a síkban? Lehet, hogy nincs közös pontjuk. Ha egy közös pontjuk van, akkor az egyenes a kör érintője, a pont pedig az érintési pont, a jele: É vagy P. Ha az egyenesnek két közös pontja van a körrel, akkor a kör szelőjének nevezzük. Ekkor a kör által az egyenesből kivágott szakasz a kör húrja. A legnagyobb húr, amely átmegy a kör középpontján, a kör átmérője, a jele: d. Az átmérő éppen a sugár kétszerese: $d = 2r$ (dé egyenlő két r).
Gyakran halljuk, hogy „kérek egy szelet tortát” vagy „kérek egy szelet pizzát”. De mi is az a körszelet? A körszelet a geometriában nem hasonlít a torta vagy a pizza „szeletéhez”. A körszelet a szelő által a körlapból kivágott síkidom, amelyből így értelemszerűen két darab keletkezik. A képen ezek a besatírozott és az üres rész. A „tortaszelet”-nek nevezett síkidom valójában a körcikk. Ahhoz, hogy körcikket kapjunk, először is ismernünk kell a középponti szöget, amely az a szög, aminek a csúcsa a kör középpontja, O, a szárai a kör sugarai, a jelölése általában $\alpha $ vagy $\beta $ (alfa vagy béta). Ha egy körben berajzolunk két sugarat, akkor mindig két középponti szög keletkezik, amelyek együtt 360 fokot, azaz kettő pí radiánt adnak. A középponti szög szárai által a körvonalból kimetszett darab a körív, a jele: i (i). A középponti szög szárai és a körív által határolt terület a körcikk, a jele: t.
Az alapfogalmak megismerése után nézzük meg, hogyan számolhatjuk ki ezeknek az alakzatoknak a hosszát vagy a területét! Tudjuk, hogy a teljes körhöz tartozó „középponti szög” ${360^ \circ }$ (360 fok), azaz $2\pi $ (két pí). A kör kerületének és a területének a kiszámítási módja, $K = 2 \cdot r \cdot \pi = d \cdot \pi $ (kerület egyenlő kétszer r-szer pí, ami tovább egyenlő d-szer pí), $T = {r^2} \cdot \pi $ (terület egyenlő r négyzetszer pí). A körív hossza a középponti szög nagyságától függ, vagyis a két mennyiség között egyenes arányosság áll fenn. Ezért a körív hossza úgy aránylik a kör kerületéhez, mint a középponti szög nagysága a ${360^ \circ }$-hoz, $i:K = \alpha :{360^ \circ }$, (i úgy aránylik kához, mint alfa a 360 fokhoz), ebből $i = \frac{\alpha }{{{{360}^ \circ }}} \cdot K$ (i egyenlő alfa per 360 fok szorozva a kör kerületével). Látható, hogy a körcikk területe is a középponti szög nagyságától függ, így az előzőhöz hasonlóan $t:T = \alpha :{360^ \circ }$, vagyis $t = \frac{\alpha }{{{{360}^ \circ }}} \cdot T$ (alfa per 360 fok szorozva a kör területével).
Egy 40 cm átmérőjű tortát 16 egyenlő szeletre vágunk. Mekkora egy szelet tetején a pirított cukor területe? Adataink: Az átmérő 40 cm, ebből a sugár a fele, azaz 20 cm. A középponti szög $\alpha = {360^\circ }:16 = {22,5^\circ }$. A torta területe: $T = {r^2}\pi = {20^2} \cdot 3,14 = 1256{\rm{ }}c{m^2}$ (húsz a négyzeten szorozva 3,14századdal, ami egyenlő ezerkettőszázötvenhat négyzetcentiméter). Ebből a tortaszeleten lévő cukormáz területe azonos a körcikk területével, azaz $78,5{\rm{ }}c{m^2}$ azaz hetvennyolc egész-öttized négyzetcentiméter.