Két vektor skaláris szorzata

A vektorműveletek elvégzése után eddig minden esetben egy-egy vektort kaptál eredményül.
A munka fizikai fogalma fontossá tette azt, hogy két vektor között egy újabb műveletet értelmezzünk.
Ha a szánkót állandó F erővel húzzuk és a szánkó elmozdulása az s vektor, akkor az F erő munkáját a következőképpen számíthatjuk ki.
A két vektort először közös kezdőpontból mérjük fel, és megállapítjuk a két vektor szögét.
Ezután az erővektor nagyságát megszorozzuk az elmozdulásvektor hosszával és a két vektor szögének koszinuszával is. Ez a háromtényezős szorzat adja meg az F erő munkáját.
Mekkora a 10 N (ejtsd: tíz nyúton) nagyságú erő munkája, ha az elmozdulás hossza 0,2 m (ejtsd: nulla egész két tized méter), és az erővektor az elmozdulásvektorral ${40^ \circ }$-os (ejtsd: negyven fokos) szöget zár be?
Az eredmény 1,53 J (ejtsd: egy egész ötvenhárom század zsúl).
Mekkora a 10 N (ejtsd: tíz nyúton) nagyságú erő munkája, mialatt a test elmozdulása 0,2 m (ejtsd: nulla egész két tized méter), és a két vektor szöge ${110^ \circ }$ (ejtsd: száztíz fokos)? Az erő munkája ebben az esetben negatív, –0,68 J. (ejtsd: mínusz nulla egész hatvannyolc század zsúl) Az erő munkája tehát pozitív és negatív is lehet.
Lehet-e a 10 N (ejtsd: tíz nyúton) nagyságú erő munkája nulla, ha az elmozdulás 0,2 m? (ejtsd: nulla egész két tized méter) Helyettesítsük be a képletbe a megadott értékeket!
Láthatod, hogy ez az egyenlőség csak akkor teljesül, ha $\cos \alpha = 0$. (ejtsd: koszinusz alfa nullával egyenlő). Tehát $\alpha = {90^ \circ }$ (ejtsd: az alfa pontosan kilecven fokos), vagyis az erővektor merőleges az elmozdulásvektorra.
Az előbbiekben megfigyelhetted, hogy két adott vektorhoz egy adott szabály szerint egy valós számot rendeltünk hozzá. Ez a szám lehet pozitív, nulla és negatív is.
Az eddigiek mintájára a matematikában értelmezzük két tetszőleges vektor skaláris szorzatát. Ez egy olyan háromtényezős szorzat, amelynek tényezői a két vektor hossza és a vektorok szögének koszinusza. A művelet eredménye egy valós szám, idegen szóval skalár. Innen származik a művelet neve.
Ha például az a vektor hossza öt, a b vektor hossza hét egység, akkor a skaláris szorzatuk a szögüktől függően más és más lehet. A skaláris szorzat legnagyobb értéke 35 (ejtsd: harmincöt). Ezt akkor éri el, ha a két vektor azonos irányú. Legkisebb értéke –35 (ejtsd: mínusz harmincöt), amit akkor ér el, ha a két vektor ellentétes irányú. A skaláris szorzat csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra.
Melyek a skaláris szorzás legfontosabb tulajdonságai?
A művelet eredménye nem függ a két vektor sorrendjétől, azaz a művelet kommutatív.
A szorzat legnagyobb értéke a két vektor hosszának szorzata, legkisebb értéke pedig ennek az ellentettje.
A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra.
Ha a két vektor egyikét megszorozzuk a k valós számmal, akkor a skaláris szorzat is a k-szorosára változik.
Két vektor összegét egy harmadik vektorral skalárisan szorozhatjuk úgy is, hogy az első két vektort skalárisan szorozzuk a harmadikkal, majd az így kapott két valós számot összeadjuk.
Gyakorlásképpen oldjuk meg a képernyőn megjelenő feladatokat!
A b és a c vektorok merőlegesek, ezért a skaláris szorzatuk nulla.
Az a és c vektor szöge az ábra szerinti $\varphi $ (ejtsd: fí), és az $\varepsilon $ (ejtsd: epszilon) is kiszámítható.
A definíció alapján az a és c skaláris szorzata tizenhat.
Az a és a b vektor szöge azonban nem $\varepsilon $ (ejtsd: epszilon), hanem ennek a mellékszöge, a skaláris szorzat kiszámításakor tehát ezt a szöget kell a képletbe helyettesítenünk.
A negyedik feladat megoldását kétféleképpen is elvégezzük.
Használhatjuk a skaláris szorzat ötödik tulajdonságát.
Ha felfedezzük, hogy az a és a b vektor összege a c vektor, akkor tulajdonképpen a c-szer c skaláris szorzatot kell kiszámítanunk.
Az azonosságok alkalmazásával tehát több módszer közül is választhatunk, ha ki akarjuk számítani az F erő munkáját a szánkó húzásánál.