Hasonlóság

Különleges nyaralást tervezünk. Merre menjünk? Hova juthatunk el Budapestről 1500 km-es körzeten belül? Nézzük meg a térképet! A térképek természetesen a valóság kicsinyített másai. Ha a térképen a következőt látjuk: 1:10.000.000 (egy aránylik a tízmillióhoz), akkor a térképen lévő 1 cm a valóságban 10.000.000 cm-nek, azaz 100.000 m-nek, tehát 100 km-nek felel meg. Mivel kicsinyítés, illetve nagyítás esetén a két mennyiség között egyenes arányosság van, a számításunk a következő lehet: 1:100 = x:1500 (egy úgy aránylik a százhoz, mint x az ezerötszázhoz). Ebből: $x = \left( {1:100} \right) \cdot 1500 = 15{\rm{ }}cm$. Az adott térképen tehát azt a várost kell keresnünk, amelyik Budapesttől 15 cm-re van. Esetünkben ez lehet nyugatról indulva: Párizs, Hamburg, Koppenhága, Kijev, Athén, Palermo stb.
A fenti példában egyes szakaszok hasonlóságát néztük. De mit jelent a hasonlóság alakzatok, vagyis síkidomok esetén? Két alakzat hasonló, ha találunk olyan hasonlósági transzformációt, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át, ilyen például a középpontos hasonlóság. Mit jelent ez pontosan? Hiszen a síkidomoknak már nemcsak hosszuk van, mint a szakaszoknak, hanem a szakaszok által közbezárt szögeik is.
Először vizsgáljuk meg a háromszögek hasonlóságát! Két háromszög hasonló, ha a megfelelő oldalaik hosszának az aránya egyenlő, azaz: $a:a' = b:b' = c:c'$ (a úgy aránylik az a vesszőhöz, mint bé a bé vesszőhöz, és mint cé a cé vesszőhöz). Ezek az arányok egyenlők lambdával. $\lambda $ (lambda) a kicsinyítés vagy a nagyítás, azaz a hasonlóság arányossági tényezője. Két háromszög hasonló akkor is, ha két-két oldalhosszuk aránya egyenlő, és az ezek által közrefogott szögek egyenlők, azaz például $a:a' = b:b' = \lambda $ (lambda) (a úgy aránylik a vesszőhöz, mint bé a bé vesszőhöz, ami egyenlő lambdával), és $\gamma = \gamma '$ (gamma egyenlő gamma vesszővel). Szintén hasonlóak, ha két-két szögük páronként egyenlő, azaz például: $\alpha = \alpha '$ és $\gamma = \gamma '$ (alfa egyenlő alfa vesszővel és gamma egyenlő gamma vesszővel), hiszen akkor már mind a három szögük egyenlő. És két háromszög hasonló akkor is, ha két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők. Azaz például: $a:a' = b:b'$ és ha $a > b$, akkor $\alpha = \alpha '$ (a úgy aránylik a vesszőhöz, mint bé a bé vesszőhöz, és ha a oldal nagyobb, mint b oldal, akkor alfa egyenlő alfa vesszővel) Ha a négy eset közül bármelyik teljesül, akkor a többi is teljesül. Ekkor a két háromszög minden megfelelő szakaszának az aránya egyenlő. Például a súlyvonal vagy a magasságvonal, és a megfelelő szögek is egyenlők.
Nézzük a sokszögek hasonlóságát! Két sokszög hasonló, ha: a) vagy a megfelelő oldalaik és a megfelelő átlóik hosszának az aránya egyenlő; b) vagy a megfelelő oldalaik aránya egyenlő és a megfelelő szögeik páronként egyenlők.
Két kör mindig hasonló. A hasonlóság aránya a két kör sugarának az aránya, azaz $r:r' = \lambda $ (r aránya r vesszőhöz egyenlő lambdával). Így tehát bármit megtervezhetünk „kicsiben”, majd megvalósíthatunk nagyban. Ezen alapul az építészeti tervrajz-készítés is.
Tervezzük meg a szobánkat! Azt tudjuk, hogy a szobánk mérete $3,36{\rm{ }}m \cdot 4,5{\rm{ }}m$. A papírlapunk mérete A/4-es, azaz $210{\rm{ }}mm \cdot 297{\rm{ }}mm$, vagyis $21{\rm{ }}cm \cdot 29,7{\rm{ }}cm$. Hogyan kicsinyítsem le a szobámat, hogy a lehető legjobban kihasználjam a papírlapot? Ha a rövidebb oldalt nézem, akkor a papíron 21 cm jelenti azt, ami a valóságban 3,36 m, azaz a 336 cm. 336:21 = 16, vagyis 1 cm a rajzon 16 cm a valóságban. A hosszabb oldalt tekintve $29,7{\rm{ }}cm \cdot 16 = 475,2{\rm{ }}cm$, vagyis a szobának ez az oldala is megszerkeszthető, azaz ráfér a papírlapra. Nézzük a továbbiakat! Az ágyam $210{\rm{ }}cm \cdot 90{\rm{ }}cm$. Mekkora lesz a rajzon? Most már csak a kicsinyítés arányát kell figyelembe venni, amely nem más, mint $\lambda = 1:16 = \frac{1}{{16}} = 0,0625$ (lambda egyenlő egy a tizenhathoz, másképpen egy tizenhatod, amely egyenlő nulla egész hatszázhuszonöt tízezred). Tehát, ha az eredeti méretek: $a = 210{\rm{ }}cm$ és $b = 90{\rm{ }}cm$. A lekicsinyített méretek: $a' = \lambda \cdot a = $ (a vessző egyenlő lambdaszor a egyenlő) $0,0625 \cdot 210 = 13,125{\rm{ }}cm$ és $b' = \lambda \cdot b = $ (bé vessző egyenlő lambdaszor bé egyenlő) $ = 0,062590 = 5,625{\rm{ }}cm$. A további bútorok kicsinyített méretét ugyanígy számíthatjuk ki. Tehát akár kirándulást, akár szobaberendezést, vagy mást tervezünk, a hasonlóság mindig a segítségünkre van.