Egyenes és kör közös pontja, a kör érintője

Geometriai szerkesztéseinkből tudjuk, hogy egy körnek és a síkjában lévő egyenesnek vagy nincs közös pontja, vagy egy közös pontja van, vagy két közös pontja van.
A következő feladat arról is szól, hogyan ad számot a koordinátageometria a fenti ismeretekről.
Adott a k kör, amelynek egyenlete: ${x^2} + {y^2} = 20$ (ejtsd: x négyzet plusz y négyzet egyenlő húsz), továbbá az f egyenes, amelynek egyenlete: $x - 2y = - 10$ (ejtsd: x mínusz két y egyenlő mínusz tíz). Állapítsuk meg, hány közös pontja van a körnek és az egyenesnek!
Egy egyenletrendszert kell megoldanunk, amelyet az egyenes és a kör egyenlete alkot. A megoldás menetét a képernyőn is követheted.
Az első egyenletből fejezzük ki az x-et!
Helyettesítsük a kör egyenletében az x helyébe a kapott kifejezést!
Bontsuk fel a zárójelet!
A másodfokú egyenletet rendezzük nullára!
Egyszerűsítsünk öttel!
A megoldóképletet alkalmazzuk.
Tehát az egyenletnek a négy az egyetlen megoldása,
ezért az f egyenesnek egy közös pontja van a körrel. A közös pont első koordinátáját visszahelyettesítéssel számoljuk ki.
Az f egyenesnek és a k körnek csak a P(–2; 4) (ejtsd: pé, mínusz kettő, négy) pontja közös. Ezt egy ábrán is szemléltetjük.
Az f egyenes tehát érinti a k kört. Korábban tanultad, hogy a kör középpontjából az érintési pontba vezető sugár merőleges az érintő egyenesre. Nézzük meg, hogyan ad számot erről a koordinátageometria az előbbi feladatban!
A kör középpontja az origó, ezért a P érintési pontba mutató helyvektor koordinátái megegyeznek a P pont koordinátáival.
Ha az $\overrightarrow {OP} $ (ejtsd: ópé vektor) valóban merőleges az f egyenesre, akkor az $\overrightarrow {OP} $ (ejtsd: ópé vektor) az f egyenes egyik normálvektora kell hogy legyen.
Az f egyenletéből kiolvasható normálvektora az ${{\rm{n}}_f} = \left( {1; - 2} \right)$ (ejtsd: egy-mínusz kettő) vektor. Ennek a vektornak a –2-szerese (ejtsd: mínusz kétszerese) éppen az $\overrightarrow {OP} $ (ejtsd: ópé vektor), vagyis a két vektor párhuzamos egymással. Ez pedig azt jelenti, hogy az $\overrightarrow {OP} $ (ejtsd: ópé vektor) valóban merőleges az f egyenesre. Ez a megállapítás összhangban áll a korábbi ismereteinkkel.
A következő feladatban az érintő és az érintési pontba vezető sugár merőlegességét használjuk fel.
Írjuk fel az ${(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 13$ (ejtsd: x plusz három a négyzeten, plusz y mínusz egy a négyzeten egyenlő tizenhárom) egyenletű kör E pontjában húzható érintőjének egyenletét, ha az E pont koordinátái (–1; 4) (ejtsd: mínusz egy és négy).
Először behelyettesítjük az E pont koordinátáit a kör egyenletébe, így ellenőrizzük, hogy valóban a körön van-e ez a pont.
A kör középpontja a C(–3; 1) (ejtsd: Cé, mínusz három, egy) pont. A $\overrightarrow {CE} $ (ejtsd: cée vektor) merőleges az érintő egyenesére, ezért annak egyik normálvektora.
A $\overrightarrow {CE} $ (ejtsd: cée) vektort az E pontba, illetve a C pontba mutató két helyvektor különbségeként írjuk fel. Az érintő normálvektora tehát a $\overrightarrow {CE} = \left( {2;{\rm{ }}3} \right)$ (ejtsd: kettő, három vektor), és az érintő átmegy az E(–1; 4) (ejtsd:E, mínusz egy, négy) ponton.
Az érintő normálvektoros egyenlete ezekkel már felírható: $2x + 3y = 10$ (ejtsd: két iksz plusz három ipszilon egyenlő 10).
A kitűzött feladatot megoldottuk. Látjuk, hogy a koordinátageometriában kapott eredményeink összhangban vannak a korábbi ismereteinkkel.