Periodikus függvények transzformálása

A tiszta zenei hangokat elektronikus úton, oszcilloszkóp segítségével is lehet vizsgálni. Hangosabban szóló hanghoz magasabb szinuszhullámok tartoznak. Ha a hang magassága változik meg, akkor a szinuszhullámok hullámhossza lesz más: sűrűbben vagy ritkábban követik egymást a hullámhegyek és hullámvölgyek.
A tiszta zenei hangok képe a szinuszgörbéhez, a szinuszfüggvény grafikonjához kapcsolódik. A szinuszfüggvény különböző transzformációi a szinuszgörbe magasságának, sűrűségének megváltozását is jelenthetik. Kövessük nyomon, hogy a különböző transzformációknál mi történik a függvény grafikonjával, és hogyan változnak meg az eredeti függvénytulajdonságok!
Az 1. példánkban induljunk ki a szinuszfüggvényből, és vizsgáljuk az $x \mapsto 3 \cdot \sin x$ (ejtsd: x nyíl 3-szor szinusz x) függvényt! Mivel a szinuszfüggvény minden értékét 3-szorosára változtattuk, a grafikon minden pontja 3-szor akkora távolságra lesz az x tengelytől, mint eredetileg volt. Tehát az x tengelyre merőlegesen háromszorosára nyújtottuk az eredeti grafikont.
Egy táblázatban hasonlítsuk össze a szinuszfüggvény és a háromszorosaként kapott függvény legfontosabb jellemzőit! A grafikonokat látva nem meglepő, hogy megváltozott az értékkészlet, a maximum és a minimum értéke, de más lényegi változás nem történt.
A 2. példánkban a függvény változóját szorozzuk meg 2-vel. Most minden függvényérték feleakkora távolságra kerül az y tengelytől, mint amekkora távolságra eredetileg volt. Tehát az y tengelyre merőlegesen felére összenyomtuk az eredeti grafikont.
Tekintsük át most is egy táblázat segítségével a változásokat! A grafikonokra pillantva rögtön érthető, hogy az $x \mapsto \sin \left( {2x} \right)$ (ejtsd x nyíl szinusz két x) függvény periodikus, de a periódusa nem $2\pi $ (ejtsd: két pí), hanem annak éppen a fele, vagyis csak $\pi $ (ejtsd: pí). Ezért a periódustól függő tulajdonságok megváltoznak. Ilyen megváltozó tulajdonságok például a zérushelyek vagy a maximum- és a minimumhelyek.
A 3. példánkban a koszinuszfüggvényből indulunk ki, és az $x \mapsto \cos x - 3$ (ejtsd: x nyíl koszinusz x mínusz 3) függvényt vizsgáljuk.
Most az eredeti grafikont 3 egységgel eltolva kapjuk a transzformált függvény grafikonját. Az eltolás az y tengellyel párhuzamos és a negatív irányba mutat.
Az eltolás egybevágósági transzformáció, ezért az eredeti függvény periodikus tulajdonsága és a periódusa is megmarad. Ennél a függvénytranszformációnál a maximum és a minimum értéke és az értékkészlet megváltozik, és a zérushelyek megváltozása is jellemző.
A 4. példánkban is a koszinuszfüggvényből indulunk ki, és az $x \mapsto \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)$ (ejtsd: x nyíl koszinusz x mínusz pífél) függvényt vizsgáljuk.
Ez is ismerős transzformáció, olyan, mint például az $x \mapsto {\left( {x - 3} \right)^2}$ (ejtsd: x nyíl x mínusz 3 a négyzeten) esetében volt. Akkor az $x \mapsto {x^2}$ (ejtsd: x nyíl x négyzet) alapfüggvény paraboláját toltuk el az x tengellyel párhuzamosan pozitív irányba, 3 egységgel.
Ugyanígy a koszinuszfüggvény grafikonját is az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányba toljuk el, mégpedig $\frac{\pi }{2}$ (ejtsd: pí per 2) egységgel. Érdekes, hogy éppen a szinuszfüggvény grafikonját kapjuk.
Az eltolás miatt a periodikus tulajdonság és a periódus nem változott. A maximum és a minimum értéke sem lett más, csak a helye változott meg. Mindkettő pozitív irányban tolódott el az eredeti helyéhez képest, éppen $\frac{\pi }{2}$ (ejtsd: pí per 2) egységgel. Ugyanez történt a zérushelyekkel is.
Befejezésül tekintsük át újra a négyféle transzformációt úgy, hogy ezúttal mindegyikre adunk még egy-egy példát.
Figyeld meg, hogy ha negatív számmal szorzunk, akkor a maximumhelyekből minimumhelyek lesznek, a mimimumhelyekből pedig maximumhelyek.
Figyeld meg azt is, hogy ha a függvény változóját 2-vel szoroztuk, akkor a kapott függvény periódusa $\frac{1}{2}$-szeresre változott, ha pedig $\frac{1}{2}$-del szoroztuk, akkor 2-szer akkora lett.
Pozitív szám hozzáadásakor felfelé, negatív szám hozzáadásakor lefelé tolódik el a grafikon.
Ha pozitív számot vonunk ki, akkor pozitív irányba tolódik el a grafikon, ha negatívat, akkor negatív irányban.
Ha a jövőben az oszcilloszkópon futó görbéket látsz, tudni fogod, hogy a szinuszfüggvényből kiindulva kaphatjuk meg mindegyiket. Igen, még a nagyon bonyolultakat is!