Konvex sokszögek

Már megismerkedtünk a háromszögekkel, azok fajtáival, tulajdonságaival és nevezetes vonalaival. Most vizsgáljuk meg a sokszögeket! Mit jelent az, hogy sokszög? Olyan síkidom, amelyet egyszerű zárt töröttvonal határol.
A sokszögek csoportosítása A szögei szerint lehet: Konvex sokszög, amelynek csak ${180^ \circ }$-nál kisebb szögei vannak. Másképpen fogalmazva, ha bármely két pontját összekötjük, az összekötő szakasz mindig a sokszögön belül helyezkedik el. Konkáv sokszög, amelynek van ${180^ \circ }$-nál nagyobb szöge is. Másképpen fogalmazva, ha két pontját összekötjük, az összekötő szakasz vagy a szakasz egy része a sokszögön kívül eshet.
A továbbiakban mi a konvex sokszögekkel foglalkozunk. Csoportosítás oldalak szerint: A szabályos sokszögek A szabályos sokszögek minden oldala és minden szöge egyenlő, ezért az oldalait egységesen „a”-val, a szögeit alfával jelöljük. A szabálytalan sokszögek A szabálytalan sokszögeknek az oldalai és a szögei is különbözőek.
A sokszögek egyéb jellemző tulajdonságai: 1. Az egy csúcsból húzható átlók száma: Átlónak nevezzük a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszt. Az „en” oldalú sokszög egy csúcsából „en” mínusz 3 darab átló húzható, mert önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzható átló. 2. Összesen hány átlója van egy sokszögnek? Ha egy csúcsból n-3 db átló húzható, akkor n db csúcsból n-szer n mínusz három átló. Így minden átlót kétszer számoltunk, ezért ezt az értéket el kell feleznünk. A sokszög összes átlójának a száma: n-szer n mínusz három, per kettő 3. A belső szögek összege: A belső szögek összegének kiszámításához nézzük meg, hogy egy sokszög hány háromszögre bontható. Tudjuk, hogy egy háromszög belső szögeinek összege: ${180^ \circ }$. Ha a sokszöget az ábrán látható módon háromszögekre bontjuk, akkor pontosan $n - 2$ (n mínusz kettő) háromszöget kapunk. Ezért a sokszög belső szögeinek összege n mínusz kettőször száznyolcvan fok. Ha a sokszög szabályos, akkor minden szöge egyenlő, tehát egy belső szöge: $\frac{{\left( {n - 2} \right) \cdot {{180}^ \circ }}}{n}$ (en mínusz kettőször száznyolcvan fok osztva ennel). A szabályos ötszög esetén ez ${108^ \circ }$.
Nézzünk egy konkrét példát! Számítsuk ki egy 15 csúcsú sokszög adatait! Legegyszerűbb, ha az adatainkat táblázatba foglaljuk a képernyőn látható módon.
Felvetődhet más kérdés is, például, hogy hány oldalú lehet az a konvex sokszög, amelynek összesen 135 átlója van? Alkalmazzuk az összes átlóra vonatkozó összefüggést és helyettesítsünk be! Az egyenletet átrendezve egy másodfokú egyenletet kapunk: A megoldóképletbe behelyettesítve két megoldást kapunk, amelyek közül a (–15) nem megoldás, hiszen n csak pozitív egész szám lehet. A konvex sokszög tehát 18 oldalú.
Végül nézz meg egy szép képzőművészeti alkotást, egész pontosan mozaikot, amelyet apró sokszögekből állítottak össze!