A kombinatorika alapjai

Mindenkit érdekel, hogy egy versenynek hányféle kimenetele lehet vagy hogy egy totószelvényt hányféleképpen tölthetünk ki. Ebben a videóban olyan feladatokkal találkozhatsz, melyek a matematika egyik legérdekesebb ágát, a kombinatorikát kapcsolják össze a sporttal. Az eseteket fel is sorolhatjuk, de legtöbbször csak a lehetséges sorrendek számát adjuk meg.
Az iskolai focibajnokságban hat csapat vesz részt. Hányféle sorrendben végezhetnek a versenyben? Hat csapat versenyez, az első helyen bárki végezhet, a második helyen már csak a maradék öt közül valamelyik, aztán négy, három, kettő, és az utolsó helyre marad egy. Összesen 720-féleképpen végezhetnek a csapatok.
Ezt még könnyű kiszámolni és leírni, de nagyobb számokkal már bajban lehetünk. Ha összeszorozzuk a számokat egytől n-ig, megkapjuk az n elem összes lehetséges sorrendjét, vagyis n faktoriálist. Egy faktoriális egyenlő eggyel, kettő faktoriális egyenlő kétszer eggyel, három faktoriális egyenlő háromszor kétszer eggyel, és így tovább. A 0! is egyenlő 1-gyel.
Az előző példánál így hat elem ismétlés nélküli permutációját, vagyis sorrendjét kaptuk meg. Ha elég okos számológéped van, keresd meg rajta az n faktoriális jelet!
Mi történik abban az esetben, ha az elemek között vannak egyenlők is? Tornaórán a gyerekek felmérést végeznek. Összesen háromszor kell kislabdával dobniuk, kétszer távolba ugraniuk, és négyszer próbálhatják meg a magasugrást. A feladatok elvégzésének sorrendje tetszőleges. Hányféle sorrendben végezhetik el a feladatokat? Kilenc feladat vár rájuk, köztük egyenlők is. Kilenc elemet kell sorba állítanod, de az egyformák nem adnak új sorrendet, velük el kell osztani az esetek számát.
Megkaptuk kilenc elem ismétléses permutációját. Általánosan n elem káadrendű ismétléses permutációját a képen látható módon számolhatod ki, ahol i féle elem ismétlődik, az első káegyszer, a második kákettőször, és így tovább.
A magyar kézilabdás lányok a világversenyen kiválóan szerepelnek. A meccsek végén gyakran látjuk őket, amint egymás kezét fogva körtáncot táncolnak. Vajon hányféle sorrendben foghatja meg egymás kezét a részt vevő tizenkét versenyző és az edző? Képzelj el egy láncot, amelyen különböző gyöngyök vannak, ugyanígy állnak a lányok is. Két sorrend csak akkor különböző, ha egy lány legalább egyik szomszédja megváltozik. Legegyszerűbb, ha egy lányt rögzítünk, a maradék tizenkettő pedig tizenkét faktoriális-féleképpen tud elhelyezkedni.
Azt nevezzük ciklikus permutációnak, amikor a körben állók sorrendjét kell meghatározni. Ezek száma $n - 1$ faktoriális.
Az olimpián a százméteres mellúszás elődöntőjében nyolc fő úszik, közülük három jut be a döntőbe. Persze az sem mindegy, hányadik helyen, hiszen számít, ki melyik rajtkockára állhat fel. A középső pályákon úszóknak mindig könnyebb a dolguk. Hányféle sorrendben juthatnak a döntőbe az úszók? Az első helyen bárki végezhet a nyolc fő közül, a második helyen már csak a maradék hét, aztán hat. Mivel csak három továbbjutó van, ezeket a számokat kell összeszoroznunk.
Ennél a feladatnál a nyolc induló közül választottunk ki hármat, és az ő sorrendjüket számoltuk össze. Ezt nevezzük ismétlés nélküli variációnak. Ilyenkor n elemből kiválasztunk k darabot, és ezeket sorba rendezzük. A tagok között nincsenek azonosak.
Végül próbáljunk meg arra válaszolni, hányféleképpen tölthető ki egy tizenhárom plusz egyes totószelvény? Készítsünk egy táblázatot 14 hellyel. Mit írhatunk az egyes négyzetekbe? Egyet, kettőt vagy x-et. Mind a tizennégy helyre bármelyiket, összesen ${3^{14}}$-féleképpen. (ejtsd: három a tizennegyediken-féleképpen) Ez az ismétléses variáció. Ha egy totószelvény kitöltése 10 másodpercet venne igénybe, könnyen kiszámolhatod, hogy több mint másfél év alatt írhatnád be az összes variációt! Ha egy játék 70 forintba kerül, akkor 334,8 millió forintot kéne fizetni az összes szelvény kitöltéséért. Megéri?
Ezzel megkaptuk az ismétléses variáció képletét.
A kombinatorika most megismert két ága a permutáció és a variáció. Mindkettőnél számít a sorrend. Permutációnál az összes elemet sorba rendezzük, a variációnál csak annyit, amennyit kiválasztottunk.
A kombinatorikának van egy harmadik ága is, a kombináció. Vajon ez mit takarhat? Nézz utána!