Valószínűség-számítás

Valószínűleg esni fog. Vagy mégsem? Hányszor halljuk ezt a feltevést vagy ehhez hasonlót. Az eső bekövetkeztét nehéz megjósolni, meteorológiai ismeretet vagy megfigyeléseket igényel, de vannak események, amelyek bekövetkeztét ennél jóval nagyobb biztonsággal meg tudjuk „jósolni”. A valószínűség-számítás erre ad nekünk lehetőséget.
Nézzünk egy egyszerűbb példát! Egy hagyományos dobókockát feldobunk. Mennyi az esélye, hogy hatost dobunk? Mivel 6 db különböző szám van a dobókockán, és mi egyszer dobunk, az esély 1:6 (egy a hathoz), másképpen 1 per 6, vagyis 0 egész ezerhatszázhatvanhét tízezred, ami körülbelül 17 %-nak felel meg. A köznapi nyelvben ezt úgy nevezzük, hogy véletlen esemény. Gyakran végzünk olyan kísérleteket, amelyeknek nem jósolható meg egyértelműen a kimenetele. Egy kísérlet összes kimenetele egy halmazt alkot, ezt nevezzük eseménytérnek.
A klasszikus valószínűség-számítási modell azt vizsgálja, hogy egy kísérlet/esemény során a várt kedvező esetek és az összes eset száma milyen arányban áll egymással. Ezt kifejezhetjük egy aránnyal, törttel, illetve átszámíthatjuk %-ba (százalékba) is. Legyen „k” a kedvező esetek/kimenetelek száma – aminek a bekövetkezési esélyére kíváncsiak vagyunk, „n”, a lehetséges összes esetek/kimenetelek száma, ami egy „A” eseménykor bekövetkezhet. Ekkor az A esemény bekövetkezésének valószínűsége (P= probability = valószínűség): $P\left( A \right) = k:n$, másképpen jelölve $P\left( A \right) = \frac{k}{n}$. (pé A egyenlő ká osztva n-nel, másképpen pé A egyenlő ká per n.)
Nézzük azt az esetet, amikor két dobókockát dobunk fel (két dobókocka) egymás után, és a kapott számokat összeadjuk. Ekkor mennyi az esélye annak, hogy hatot kapunk? Mivel itt már két számot kell összeadnunk meg kell vizsgálnunk, hogy mely számok összeadása esetén kaphatunk 6-ot. Ezek: $1 + 5$, $5 + 1$, $2 + 4$, $4 + 2$, $3 + 3$, azaz 5 lehetőség, ez a kedvező esetek száma, tehát $k = 5$. Vizsgáljuk meg azt is, hogy összesen hány eset lehetséges. Ezt legegyszerűbben egy táblázat segítségével állapíthatjuk meg. Az első oszlopban az első dobókocka számait, az első sorban a második dobókocka számait tüntetjük fel. A táblázatban összeadjuk a két dobókocka számait. Természetesen nem kell berni az összes összeget, azaz az összes számot, elegendő csak azokat, ahol hatost kapunk. A táblázat segítségével is megállapíthatjuk, hogy $6 \cdot 6$, azaz 36-féleképpen alakulhat a dobások száma. Ez a lehetséges összes eset, azaz $n = 36$. A kapott valószínűség tehát a kedvező és az összes eset aránya, $P\left( A \right) = 5:36$ (öt a harminchathoz), másképpen kifejezve $P\left( A \right) = \frac{5}{{36}} = 0,13888$ (öt harminchatod), vagyis 5 osztva 36-tal, ami körülbelül 14 százalék.
Más típusú feladatokat is megoldhatunk a valószínűség-számítás módszerével. Például ha 2 piros, 5 zöld és 3 fehér golyó közül találomra, csukott szemmel ki szeretnénk húzni 1 fehér golyót, akkor mennyi az esélyünk? A fehér golyók száma 3, ez a kedvező eset, $k = 3$. Az összes golyó száma 10, ez az összes eset, $n = 10$. Ekkor a valószínűség: kedvező eset per összes eset száma, azaz $P\left( A \right) = 3:10 = \frac{3}{{10}} = 0,3$, ami 30 % (3 a tízhez).
Minden kisgyerek, de még a felnőttek is szeretnek pénzérmével játszani. Ha három pénzérmét feldobunk, akkor többféle eredményünk születhet aszerint, hogy a pénzérme melyik oldala kerül felülre: a fej = F vagy az írás = I. Vizsgáljuk meg hányféle eset lehetséges! Látható, hogy 8 különböző esetet kaptunk, azaz az összes esetszáma, $n = 8$ Ezek között mekkora az esélye/valószínűsége annak, hogy pontosan két írást dobunk? Pontosan 2 írás a 4., a 6. és a 7. esetben szerepel, azaz a kedvező esetek száma, $k = 3$. A valószínűség tehát: $P\left( A \right) = 3:8$, másképpen $P\left( A \right) = \frac{3}{8} = 0,375$, ami százalékban kifejezve 37,5 %-nak felel meg.
Kártyázzunk! A Egy 32 lapos magyar kártyából szeretnénk hetest húzni. Mekkora az esélyünk arra, hogy első húzásra sikerülni fog? A magyar kártyában minden színből 8 db van, és ebből mindegyik színben egy darab hetes, azaz összesen 4 darab hetes szerepel a kártyapakliban. Ez a kedvező esetek száma, $k = 4$. Az összes eset, $n = 32$. A valószínűség tehát $P\left( A \right) = 4:32 = 1:8 = \frac{1}{8} = 0,125 = 12,5\% $.
A valószínűség-számítás az eső bekövetkeztére nem tud pontos választ adni, de a bemutatott módszerekkel számtalan esemény bekövetkezésének a valószínűségét egyszerűen és pontosan „meg tudjuk jósolni”. Jó jósolgatást kívánunk!