Hogyan adhatunk meg egy egyenest?

Egy idegen városban egy nagy tér közepén állsz és bizonytalanul nézelődsz jobbra-balra. Tudod, hogy egyenesen kell haladnod, de nem tudod, hogy melyik egyenesen és melyik irányban.
Tanácsot kérsz egy-egy arra járó embertől. Az első azt mondja, hogy a kicsit távolabb látható hirdetőoszlop felé halad az út.
A második járókelő sietősen csak annyit mond:
„Arra kell menni!“
– és a kezével mutat a távolba.
A harmadik járókelő így szól:
„Látja? Az ott a Fő utca, azt nem lehet eltéveszteni. Na, arra merőlegesen kell haladnia!“
Szomorúan állapítod meg, hogy három különböző egyenest javasoltak a segítőkész emberek, így további információkra van szükséged.
Amíg egy igazán jó információra vársz, nézzük meg, hogyan adták meg az egyes járókelők azt az egyenest, amelyen – szerintük – haladnod kellene.
Mindegyik járókelő olyan egyenest adott meg, amely átmegy a téged jelző P ponton.
Az első járókelő megadta az egyenesnek még egy pontját.
A második járókelő megadott egy irányt. Ezzel azt jelezte, hogy a megadott iránnyal párhuzamosan halad az egyenes.
A harmadik járókelő is megadott egy irányt, szerinte az erre merőleges egyenesen kell haladnod.
A matematika így írja le az egyenes három megadási módját:
Egyetlen olyan egyenes van, amelyik átmegy a megadott P ponton és egy másik, P-től különböző ponton.
Egyetlen olyan egyenes van, amelyik átmegy a megadott P ponton és egy megadott vektorral párhuzamos.
Egyetlen olyan egyenes van, amelyik átmegy a megadott P ponton és egy megadott vektorra merőleges.
Egy adott egyenessel párhuzamos vektorokat az egyenes irányvektorainak nevezzük, az egyenesre merőleges vektorokat pedig az egyenes normálvektorainak hívjuk.
Egy adott egyenesnek végtelen sok irányvektora és végtelen sok normálvektora van.
Nézzük, hogyan alkalmazhatjuk az egyenes három megadási módját a koordináta-rendszerben!

Legyen adott a P(5; 2) (ejtsd: P öt-kettő) pont.
Rajzoljunk három egyenest a P ponton keresztül úgy, hogy az a egyenes átmenjen a Q(–3; 4) (ejtsd: Q mínusz három, négy) ponton, a b egyenes párhuzamos legyen a v(2; 3) (ejtsd: v kettő-három) vektorral, a c egyenes pedig merőleges legyen az n(–1; 2) (ejtsd: mínusz egy-kettő) vektorra.
A koordináta-rendszerben ábrázolt egyenesekkel már találkozhattál akkor, amikor elsőfokú függvények grafikonját rajzoltad meg. Az $x \mapsto 2x$ (ejtsd: x-nyíl kétiksz) függvény grafikonjaként egy olyan egyenest rajzoltál, amely az origón megy át és a meredeksége 2. A 2 meredekség azt jelenti, hogy ha az egyenes bármelyik pontjából kiindulva 1 egységgel jobbra lépsz, akkor 2 egységet felfelé lépve ismét az egyenesre érkezel.
A meredekségnek konkrét geometriai jelentése is van. Az $\alpha $ (ejtsd: alfa) az a szög, amellyel az x tengelyt pozitív irányban elforgatva az adott egyenessel párhuzamos egyeneshez jutsz. Az ábrán a derékszögű háromszög $\alpha $ (ejtsd: alfa) hegyesszögének tangense az $\alpha $-val (ejtsd: alfával) szemköztes befogó és a mellette fekvő befogó hányadosa, azaz éppen a meredekség. A meredekség tehát meghatározza az $\alpha $ (ejtsd: alfa) szöget. A fentiek miatt a „meredekség“ szó helyett használható az „iránytangens“ vagy „iránytényező“ kifejezés is. Az $\alpha $ (ejtsd: alfa) szög arra jellemző, hogy hogyan áll a koordináta-rendszerben az egyenes. Ennek a szögnek a neve irányszög.
A koordináta-rendszerben az egyenes meredeksége az egyenes állását jellemzi. Az azonos meredekségű egyenesek párhuzamosak egymással, és fordítva is: a párhuzamos egyenesek meredeksége egyenlő. A meredekség az egyenes irányszögének tangense. Emiatt iránytangensnek vagy iránytényezőnek is nevezzük.
Ha a meredekség pozitív, akkor az egyenes irányszöge hegyesszög, ha a meredekség negatív, akkor az egyenes irányszöge tompaszög.
A ${0^ \circ }$-os (ejtsd: nulla fokos) irányszög, vagyis a nulla meredekség az x tengellyel párhuzamos egyenesekre jellemző.
Az y tengellyel párhuzamos egyenes irányszöge ${90^ \circ }$, ennek nincs tangense. Ezért az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek nincs meredekségük.
Lehet, hogy a téren ácsorogva még mindig nem tudod, hogy merre indulj el, de legalább az egyenesek különböző megadási módját tisztán látod magad előtt.