Előzetes tudás

Ehhez a tanegységhez szükséged van a koordinátageometria alapvető módszereinek ismeretére, illetve elemi geometriai ismeretekre is: egyenes egyenletének felírása kör egyenletének felírása pontok, vektorok megadása számpárral távolságok és szögek kiszámítása háromszög nevezetes vonalai és pontjai (oldalfelező merőleges, magasságvonal, súlyvonal, súlypont, körülírt kör középpontja, magasságpont)

Tanulási célok

Ebből a tanegységből megtanulod, hogyan lehet a geometriai problémákat átültetni a koordinátageometriába, hogyan lehet a problémákat algebrai úton megoldani, illetve a kapott eredmények hogyan értelmezhetők a geometriában.

Narráció szövege

Cogito ergo sum. – Gondolkodom, tehát vagyok. Ez René Descartes (ejtsd: Röné Dékárt) filozófiájának megingathatatlan alapelve. Descartes – latinosított néven Cartesius (ejtsd: Kártéziusz) – XVII. századi filozófus, természettudós és matematikus az Értekezés a módszerről című művének egyik részében a geometria algebrai megalapozásáról, a koordináta-rendszerről szól. Ez volt a kiindulópontja a koordinátageometriának, amely a geometriai problémák megoldásának egyik leghatékonyabb módszerévé fejlődött.
A geometriai problémák megoldásának elengedhetetlen eszköze a szerkesztések és a számítások elvégzése. A szerkesztésekhez a síkon vonalzóval egyeneseket, körzővel köröket rajzolunk, pontokat jelölünk ki. Aki egy kicsit is járatos a koordinátageometriában, az tudja, hogy mindezeket megtehetjük úgy is, hogy közben nem használunk sem vonalzót, sem körzőt, és egyetlen pontot sem rajzolunk. Az egyenesek és a körök helyett egyenleteket, a pontok helyett pedig számpárokat adunk meg.
A koordinátageometria – nagyon leegyszerűsítve – tehát nem más, mint a geometria művelése algebrai eszközökkel. Számpárok és egyenletek helyettesítik a körzőt és a vonalzót.
Nézzük meg néhány alapfeladatban, hogyan valósul meg a geometria és az algebra egymást támogató együttműködése.
Az egyik geometriai alapszerkesztés az volt, amelyben a szakasz felezőmerőlegesét körzővel és vonalzóval kellett megszerkesztenünk. Ez a feladat a koordinátageometriában például így fogalmazható meg: Adott egy szakasz két végpontja, az A és a B pont a koordinátáival. Írjuk fel a szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
A felezőmerőleges átmegy a szakasz F felezőpontján. Ennek a koordinátáit meg tudjuk adni a szakasz végpontjainak ismeretében.
A felezőmerőleges az AB szakaszra merőleges, ezért például az $\overrightarrow {FB} $ (ejtsd: ef, bé vektor) a felezőmerőlegesnek egy normálvektora. A normálvektor koordinátáit helyvektorok segítségével tudjuk megadni. A két koordináta a négy és az egy.
Ismert tehát a felezőmerőleges egyik pontja és egy normálvektora. Ezekkel már fel tudjuk írni a felezőmerőleges egyenletét is. Ezzel a feladatunkat megoldottuk.
Folytassuk a koordinátageometria működésének bemutatását! A már megadott A és B pontokhoz vegyük hozzá harmadikként a C(0; 9) (ejtsd: Cé, nulla, kilenc) pontot is! Adjuk meg az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! Tudjuk, hogy a háromszög körülírt körének középpontját két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kaphatjuk meg. Az AB oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét éppen az előbb határoztuk meg.
A BC oldal felezőpontja a G(1; 7) (ejtsd: G egy, hét) pont, a $\overrightarrow {GB} $ (ejtsd: GB vektor) pedig a BC oldal felezőmerőlegesének normálvektora.
Ezekkel felírható a BC oldal felezőmerőlegesének egyenlete.
A körülírt kör középpontját a két felezőmerőleges metszéspontja adja meg.
A körülírt kör középpontjának koordinátái tehát az $O\left( { - \frac{7}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}} \right)$ (ejtsd: ó, mínusz hét harmad és tizenhat harmad).
A körülírt kör sugarát a háromszög egyik csúcsának és a kör középpontjának távolsága adja meg. Ezt két pont távolságaként számíthatjuk ki.
A kör egyenletéhez a középpontjának a koordinátáit és a sugarának a négyzetét kell ismernünk. Ezekkel felírjuk a körülírt kör egyenletét. A kitűzött feladatunkat ezzel megoldottuk.
A koordinátageometria nem csak a geometriai szerkesztéseket tudja lépésről lépésre visszaadni. Az ABC háromszög súlypontját például azonnal meg tudjuk adni, ha kiszámítjuk a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepét. Van képletünk a háromszög oldalainak kiszámítására – ezeket két-két pont távolságaként határozhatjuk meg. A vektorok skaláris szorzatának felhasználásával vagy a koszinusztétellel ezután a háromszög szögeit is kiszámíthatjuk.
Emlékezz vissza, hogy mindazt a sok ismeretet, amelyet most az ABC háromszögről felsoroltunk, úgy kaptuk meg, hogy kezdetben mindössze három számpárt adtunk meg: a háromszög három csúcsának koordinátáit. Ez mutatja a koordinátageometria módszerének lényegét és a módszer erejét is.

Ajánlott irodalom

Dr. Vancsó Ödön (szerk.): Matematika 11., Koordinátageometria fejezet, Műszaki Kiadó

Marosvári–Korányi–Dömel: Matematika 11. – Közel a valósághoz, Koordinátageometria fejezet, NTK

Teszt 
Javasolt feldolgozási idő: 15 perc
Még nem töltöttem ki a tesztet
Developed by Integral Vision