Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek

Találkozhatunk olyan problémákkal, melyek matematikai leírásához és megoldásához nem elég egyetlen egyenlet. Nézzünk rájuk egy példát! Andris és Bence összesen 30 évesek. Ha Andris életkorából kivonjuk Bence éveinek számát, tízet kapunk eredményül. Hány éves a testvérpár? Csak az első mondatból a feladat nem oldható meg egyértelműen, hiszen a 30 lehet $2 + 28$, $13 + 17$ vagy $11 + 19$, végtelen sok módon előállhat. Hasonló okokból csupán a második mondatból sem adhatók meg az életkorok. A kettő együtt vajon egyértelmű megoldás kínál?
Fogalmazzuk meg matematikai jelölésekkel a két állítást! Andris életkorát jelöljük x-szel, míg Bencéét y-nal! Az első mondat alapján x és y összegének 30-nak kell lennie, így kaptunk egy elsőfokú kétismeretlenes egyenletet. A második mondat alapján x és y különbsége 10. Ez szintén egy elsőfokú kétismeretlenes egyenletet határoz meg. Olyan számpárt kell találnunk x és y helyére, amely mind a két egyenletet kielégíti, tehát a két egyenletet együttesen kell megoldanunk. Ilyen esetekben egyenletrendszerről beszélünk. Ha az egyenletrendszer két egyenletből áll, melyekben két ismeretlen szerepel, és mindkét egyenlet legfeljebb elsőfokú, akkor egy kétismeretlenes, két egyenletből álló lineáris egyenletrendszerről beszélünk. A fenti példánk pont ilyen. Az összetartozó egyenleteket általában egymás alá írjuk, és kapcsos zárójellel kötjük össze. Egyes esetekben hasznos számozni őket. A kérdés csupán az, hogyan találhatjuk meg általában a megoldást jelentő számpárt. Több lehetőség is kínálkozik az egyenletrendszer megoldására.
1. módszer Fejezzük ki az egyik egyenletből az egyik ismeretlent, például adjuk hozzá a második egyenlet mindkét oldalához az y-t! Az x-re kapott kifejezést helyettesítsük be a másik egyenletbe, az ezzel azonos ismeretlen helyére. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk. Oldjuk meg! A kapott $y = 10$ értéket visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, így megkapjuk x-et is. A keresett x, y számpár a 20 és a 10, azaz Andris 20, Bence pedig 10 éves. Az ellenőrzés az ismeretlenek visszahelyettesítésével történik. Az egyenletrendszerek ilyen módon való megoldását behelyettesítő módszernek nevezzük.
2. módszer Az egyenletrendszerünkre pillantva feltűnhet, hogy x mindkét esetben a bal oldalon szerepel, mégpedig azonos együtthatóval. Ha kivonjuk egymásból a két egyenletet, például az elsőből a másodikat, akkor az x ismeretlen kiesik, és y-ra kapunk egy egyenletet. Oldjuk meg! Az így kapott értéket az előző módszerhez hasonlón helyettesítsük vissza valamelyik egyenletbe. Legyen ez most a második, és oldjuk meg x-re! Olyan esetekben, amikor az azonos oldalon álló ismeretlenek együtthatója csupán előjelben különbözik, akkor a két egyenlet összegét véve küszöbölhetjük ki az ismeretlent. Az egyenletrendszerek ilyen módon való megoldását egyenlő együtthatók módszerének nevezzük.
3. módszer Az egyenletekben lévő ismeretlenek közötti kapcsolatot ábrázolhatjuk koordináta-rendszerben. Ha y-ra rendezzük az egyenleteket, akkor egy-egy elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát kapjuk, melyek grafikonja egy-egy egyenes. Mivel olyan rendezett számpárt keresünk, amely mindkettőt kielégíti, a két egyenes metszéspontjának koordinátái adják a megoldást. Az egyenletek rendezését követően ábrázoljuk őket közös koordináta-rendszerben! A grafikonról leolvasható, hogy az $x = 20$ helyen veszi fel mindkét függvény az $y = 10$ értéket, így ez a számpár mindkét egyenletet kielégíti. Természetesen az, ami az egyszerű egyenletek grafikus megoldására igaz volt, itt is igaz. Általában nem mondható meg előre, hogy a metszéspont egész értékeket határoz-e meg, így az egyenletrendszer megoldásainak leolvasása nehézkes vagy pontatlan lehet.