Előzetes tudás

Ehhez a tanegységhez ismerned kell a kombinatorika alapjait és tudnod kell használni a számológépedet.

Tanulási célok

Ebből a tanegységből megtanulod, mi a különbség a visszatevéses és a visszatevés nélküli mintavétel között, valamint hogyan lehet kiszámolni a kiválasztások számát.

Narráció szövege

Minőség-ellenőrzésre szinte minden munkaterületen szükség van. Ahhoz, hogy a vásárlók, az ügyfelek vagy a vendégek elégedettek legyenek, jó minőségű terméket kell gyártani, megfelelő szolgáltatást kell nyújtani. A minőség-ellenőrzés egy gyárban nem úgy történik, hogy minden egyes terméket megvizsgálnak. Mintát vesznek a termékekből, és csak ezeket ellenőrzik.
Tegyük fel, hogy egy hűtőgépgyárban 100 készülékből 8 hibás. Egy ellenőrzés alkalmával egyszerre kiválasztanak 5 hűtőszekrényt, és ezeket vizsgálják meg. Ez visszatevés nélküli mintavétel, hiszen egyszerre veszik ki e termékeket, nem teszik azokat vissza. Számoljuk ki, hányféleképpen lehet kiválasztani az 5 készüléket úgy, hogy ne legyen közöttük hibás, illetve pontosan 1, 2, 3, 4 vagy 5 hibás legyen?
Ha 100 készülékből 8 hibás, akkor 92 jó. Első esetben a kiválasztottak között nincs hibás, tehát mind az ötöt a jók közül kell kivenni. Ezt $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {92}\\ 5 \end{array}} \right)$ (92 alatt az 5)-féleképpen tehetjük meg.
Menjünk tovább: 1 hibás és 4 hibátlan termék kiválasztása $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 1 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {92}\\ 4 \end{array}} \right)$ (8 alatt az 1 szorozva 92 alatt a 4)-féleképpen valósulhat meg. Hasonlóan tudjuk kiszámolni a többi lehetőség számát is. A jó készülékeket a 92 jó közül, a hibásakat a 8 rosszból választjuk ki, és a két számot összeszorozzuk.
Összesen hányféleképpen választhatunk ki 100 hűtőből 5-öt? 100 különböző dolog közül úgy választunk ki ötöt, hogy a sorrend nem számít. A kombinatorikai ismereteid alapján tudod, hogy ez 100 elem ötödosztályú kombinációja. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az előző eseteket összegezzük. Ezzel ellenőriztük is a megoldásunkat.
100 üzlet közül 4-ben próbavásárlást végez 4 ellenőr. Egymástól függetlenül választanak ki egy-egy boltot, tehát lehet, hogy ugyanazt választják ki ketten is. Ez a visszatevéses mintavételre példa: ebben a modellben kiválasztunk egy elemet, majd visszatesszük. Ismét kiválasztunk egyet, ismét visszatesszük, és így tovább. Tudjuk, hogy a 100 üzlet között 23-ban van valami probléma: például nem adnak számlát vagy lejárt terméket is árusítanak. Hányféleképpen választhatja ki a 4 ellenőr a 4 üzletet úgy, hogy sehol se legyen hiányosság, illetve 1, 2, 3, 4 kifogásolt üzlet legyen közöttük?
23 boltban van valami gond, 77-ben minden rendben van. Az első kérdésre ${77^4}$ (77 a negyediken) a válasz, hiszen egyik ellenőr sem talál hibát. Ha az 1. ellenőr talál hibát, akkor $23 \cdot {77^3}$ (23-szor 77 a harmadikon) a lehetőségek száma. Ezt a számot még meg kell szorozni 4-gyel, mert 4-féleképpen lehet kiválasztani azt az egy ellenőrt, aki problémába ütközik. Hasonlóan tudjuk kiszámolni azoknak az eseteknek a számát, amelyekben 2 vizsgálat mutat ki valamilyen hibát, kettő pedig nem. Az első tényező mindig azt mutatja meg, hogy hányféle sorrendben valósulhat meg az adott kiválasztás. Ebben az esetben is határozzuk meg az összes lehetőséget kétféleképpen! 100 különböző elemből 4-et kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend is számít, és lehet ismétlődés. Ez a 100 elem negyedosztályú ismétléses variációja. A két szám megegyezik, tehát jók az eredmények.
Sok olyan probléma van, amely a most látott modellek valamelyikével oldható meg. Ha azt kell kiszámolnod, hogy hányféleképpen lehet kettes, hármas, négyes találatunk a lottón, vagy azt, hogy hányféleképpen kaphatsz osztáskor 5 lapból 2 ászt kártyában, ez visszatevés nélküli kiválasztás. Ha az a kérdés, hogy egy 10 kérdéses tesztet hányféleképpen lehet úgy kitölteni, hogy 8 jó válasz legyen, vagy az, hogy hányféleképpen lehet 12 találatunk a totón, ez visszatevéses kiválasztás.
A kétféle mintavétel a középiskolai tananyag valószínűség-számítás témakörében fog nagy szerepet kapni. A statisztikusok is alkalmazzák ezeket a módszereket a felmérések készítésekor.

Ajánlott irodalom

Teszt 
Javasolt feldolgozási idő: 15 perc
Még nem töltöttem ki a tesztet

Hozzászólások