Előzetes tudás

Ehhez a tanegységhez ismerned kell a halmazelméleti alapfogalmakat: unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Jó, ha ismered a műveletek kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságait is.

Tanulási célok

Ebben a tanegységben megismerkedsz a matematikai logika legfontosabb alapfogalmaival és műveleteivel, valamint a logikai műveletek tulajdonságaival.

Narráció szövege

A Barcelona vagy a Reál Madrid a világ legjobb csapata. Hányszor hallod, mondod ezt a mondatot nap mint nap? Ki az egyiknek szurkol, ki a másiknak.
Ha egy kijelentő mondatról egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis, kijelentésnek nevezzük. Nevezhetjük állításnak vagy ítéletnek is.
Az osztályban Csilla a legszebb lány. Lehet, hogy Csilla szép lány, de ennek a mondatnak az igazságtartalmát nem tudjuk egyértelműen eldönteni, tehát nem kijelentés.
A Föld a Nap körül kering. Kopernikusz óta tudjuk, hogy ez így van! Tehát ez egy igaz állítás.
2012-ben a londoni olimpián a magyar vízilabda-válogatott aranyérmes lett. Sajnos sorban a negyedik olimpián nem sikerült nyernünk. Ez tehát egy hamis kijelentés.
Az állításokat nagybetűvel jelöljük. Ha az állítás betűjét két vonal közé tesszük, az az állítás logikai értékét jelenti.
Tagadjuk az előző mondatot! 2012-ben a londoni olimpián a magyar vízilabda-válogatott nem lett aranyérmes. Az eredeti állításunk hamis, a tagadása viszont igaz. Fordítva ugyanez érvényes: igaz állítás tagadása hamis. A tagadást negációnak nevezzük.
Kedvenc tantárgyam a matematika. Tagadása: Kedvenc tantárgyam nem a matematika. Melyik ítélet igazságtartalma IGAZ számodra?
Hogyan tagadod az alábbi mondatokat? Minden egér fehér. Van olyan egér, amelyik nem fehér. Minden nagymama erdőben él. Van olyan nagymama, amelyik nem erdőben él. Van olyan páros szám, amely nem osztható 6-tal. Minden páros szám osztható 6-tal.
Este megkérdezi anyukád, mit csináltatok ma testnevelésórán. „Futottunk ÉS kötelet másztunk” – válaszolod. Csak akkor mondtál otthon igazat, ha mindkét feladatot elvégeztétek. Itt a két állítást ÉS kötőszóval kapcsoltuk össze. Ezt nevezzük konjunkciónak.
Két állítás konjunkciója csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz! Ha az egyik állítás, esetleg mindkettő hamis, akkor a konjunkció is hamis.
A tanárnő ezt mondja óra előtt: „Ma testnevelésórán futunk VAGY kötelet mászunk.” Biztosan jut idő mindkettőre? Az nem biztos, de az egyik feladatot mindenképpen el fogjuk végezni. A VAGY kötőszóval összekapcsolt állításokat diszjunkciónak nevezzük.
Két kijelentés diszjunkciója csak abban az esetben hamis, ha mindkét kijelentés hamis, különben igaz. Mondhatjuk úgy is, hogy akár az egyik, akár a másik teljesülhet. Ez a logikában a „megengedő vagy” fogalma, vagy egyik, vagy másik, vagy mindkettő teljesül.
Nézzük meg ennek a három műveletnek az igazságtáblázatát! Tagadásnál felcserélődik az igazságtartalom. Ha van két igaz állításunk, akkor a konjunkció és a diszjunkció is IGAZ, ha csak az egyik igaz, akkor a konjunkció már hamis, ha pedig mindkét állítás hamis, akkor a diszjunkció és a konjunkció is hamis.
A kettős tagadást is ismerjük a logikában. Ha egy állítás tagadását tagadjuk, megkapjuk az eredeti állítást. Egy állítás és a tagadása egyszerre nem teljesülhet, ezért egy állítás és a tagadása közül az egyik biztosan igaz.
„A férfi és a női kézilabdások sem nyertek olimpiát.” Ez logikailag ugyanazt jelenti, mint hogy nem nyertek olimpiát a férfi, vagy nem nyertek olimpiát a női kézilabdások. Két állítás konjunkciójának a tagadása logikailag egyenértékű az állítások tagadásának diszjunkciójával. Sanyi nem az Újpestben vagy a Fradiban focizik, az annyit jelent, hogy sem az Újpestben, sem a Fradiban nem focizik. Két állítás diszjunkciójának a tagadása logikailag egyenértékű az állítások tagadásának konjunkciójával.
A korábban megtanult kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságok érvényesek a logikai műveletekre is!
Ezt a mondatot is gyakran használod: Ha esik az eső, esernyőt viszek magammal. A „ha A, akkor B” típusú mondatkapcsolatokat implikációnak nevezzük. Foglaljuk logikai táblázatba a példánkat! Az A kijelentés az, hogy esik az eső, a B pedig az, hogy viszek esernyőt. Ez mindig igaz, kivéve, ha A igaz és B hamis, vagyis példánkban az az állítás, hogy esik az eső, de nem viszek esernyőt.
Az implikáció nem kommutatív és nem asszociatív művelet! Gondold át! Ha ma esik az eső, akkor nem süt a nap. Cseréld fel a két állítást! Ha ma nem süt a nap, akkor esik az eső. Ez egyáltalán nem biztos!
Melyik is a jobb spanyol csapat? Még mindig nem tudjuk, de az alapfogalmak, jelölések, műveletek biztosan érthetőek lettek számodra is!

Ajánlott irodalom

Sokszínű matematika 12, Mozaik Kiadó, 10–27. oldal

Mi köze van a konjunkciónak a művészetekhez?

Teszt 
Javasolt feldolgozási idő: 15 perc
Még nem töltöttem ki a tesztet

Hozzászólások