Előzetes tudás

Ehhez a tanegységhez ismerned kell a permutáció, a variáció, a kombináció fogalmát és a kiszámításukat. Ugyancsak ismerned kell néhány geometriai alapfogalmat, mint például a háromszög, a kocka és az egyenes.

Tanulási célok

Ebben a tanegységben geometriai feladatok megoldását gyakorolod kombinatorikai módszerekkel. Látsz példát permutációra, variációra és kombinációra is. Találkozol olyan feladatokkal is, amelyeket az egyik csoportba sem lehet besorolni.

Narráció szövege

Kombinatorika és geometria? Az első gondolatod az lehet, hogy nem sok közük van egymáshoz. Vagy talán mégis? Ebben a videóban a két témakör kapcsolódására láthatsz példákat.
Egy kör kerületén vegyünk fel 8 pontot! Hány egyenest határoznak meg ezek a pontok? Egy egyenes megrajzolásához 2 pontra van szükség. Ezek közül az első 8-féle lehet, a második már csak 7-féle. $8 \cdot 7 = 56$. A két pont sorrendje nem számít, ezért osztunk 2-vel. Tehát 28 egyenest határoz meg a 8 pont. A feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 8 különböző pontból ki kell választani kettőt, a sorrend nem számít. Ez 8 elem másodosztályú kombinációja, ezeknek a száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 2 \end{array}} \right)$ (8 alatt a 2), vagyis 28.
Számoljuk ki azt is, hogy hány háromszöget határoz meg ugyanez a 8 pont! Itt már célszerű az utóbbi gondolatmenetet követni: 8 elem harmadosztályú kombinációjáról van szó, az eredmény $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right)$ (8 alatt a 3), 56.
Egy háromszög oldalai 4 cm, 5 cm és 6 cm hosszúak. Hányféleképpen lehet a háromszög mindegyik oldalát különböző színűre festeni piros, kék és sárga színnel? Kezdjük például a 4 cm-es oldallal: ez 3-féle színű lehet. Az 5 cm-es oldal 2-féle, a 3. csak egyféle. Az eredmény $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ Gondolkodhatunk úgy is, hogy a 3 különböző színt hányféleképpen lehet sorba rendezni? Ez 3 elem ismétlés nélküli permutációja, amelyeknek a száma 3! (3 faktoriális), vagyis 6.
Változtassunk az előző feladaton annyit, hogy a piros, a kék, a zöld, a sárga és a lila szín közül lehet választani, az oldalak most is különböző színűek! Az első oldal 5-féle színű lehet, a 2. 4-féle, az utolsó 3-féle. Az összes lehetőség $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. Ez a példa ismétlés nélküli variációnak is tekinthető, 5 szín közül kell hármat kiválasztani és ezeket sorba rendezni. A megfelelő képletet használva természetesen szintén 60-at kapunk.
Egy háromszög egyik oldalát 9 részre osztottuk, majd ezeket az osztópontokat összekötöttük a 3. csúccsal. Hány háromszög látható az ábrán? A keresett háromszögek egyik csúcsa mindenképpen az A pont, a másik két csúcsa a BC oldalon van. Itt 10 pont található, ezek közül kell kiválasztani kettőt. A sorrend nem számít, ezért $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 2 \end{array}} \right)$ (10 alatt a 2), vagyis 45 a helyes megoldás.
Egy kocka lapjait pirosra festjük, majd 27 db egybevágó kis kockára szétvágjuk. Hány olyan kis kockát kapunk, amelynek 3, 2, 1, 0 lapja piros? 3 lapja piros a nagy kocka csúcsaiban lévő kis kockáknak, ezekből 8 db van. Két lapja piros a csúcsok között elhelyezkedő kis kockáknak. Ilyen 12 db van. 1 lapja piros az oldallapok közepén levő kis kockáknak. 6 oldallap van, tehát ezek száma 6. Minden lapja fehér 1 kockának, a nagy kocka közepén. Összesen $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ kis kocka keletkezett. A kapott számok összege is 27, a megoldásunk helyes.
Hány olyan háromszög szerkeszthető, amelynek oldalai cm-ben mérve egyjegyű prímszámok? Nézzük, melyek az egyjegyű prímszámok! A 2, a 3, az 5 és a 7. Ilyen oldalakkal kellene háromszögeket szerkeszteni. Felmerül az a kérdés, hogy 3 szakaszból mikor szerkeszthető háromszög? A háromszög-egyenlőtlenség szerint a háromszögekben bármely 2 oldal összege nagyobb, mint a harmadik. Tehát például olyan háromszög nincs, amelynek az oldalai 2, 3 és 7 cm hosszúak. Lehetnek-e a háromszögnek egyenlő oldalai? A feladat megfogalmazása szerint igen. Nézzük a lehetőségeket! 4 olyan háromszög van, amelynek minden oldala egyenlő. Azokat az eseteket, amikor a 3 szakasz közül kettő egyenlő, a táblázat tartalmazza. Vagy módszeresen felsoroljuk ezt a nem túl sok lehetőséget vagy számolhatunk is. Az egyik szám 4-féle lehet, a másik már csak 3, $3 \cdot 3 = 12$. Ha nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, nincs háromszög. Ezeket az eseteket kihúzzuk, marad 9 háromszög. Végül megszámoljuk a 3 különböző oldalú háromszögeket is. 4 számból kiválasztunk hármat úgy, hogy a sorrend nem számít. Ezt $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)$ (4 alatt a 3) = 4-féleképpen tehetjük meg. Ezek közül csak 1 esetben lehet háromszöget szerkeszteni. 14 olyan háromszög állítható elő, amelynek minden oldalának a hossza egyjegyű prímszám.
Láthattad, hogy a matematika két, látszólag távoli területe összekapcsolódhat a feladatokban. A kombinatorikus geometria a kombinatorika egy új ága. Olyan problémákkal foglalkozik, amelyekben a geometriai fogalmak mellé valamilyen összeszámlálási feladat társul.

Ajánlott irodalom

Az ingyenes hozzáférésű Mozaik webtankönyv kapcsolódó fejezete:

Mozaik webtankönyv, A sík és a tér felosztása, http://www.mozaweb.hu/Lecke-Mate...

Teszt 
Javasolt feldolgozási idő: 15 perc
Még nem töltöttem ki a tesztet

Hozzászólások