Kombinatorika a geometriában

Kombinatorika és geometria? Az első gondolatod az lehet, hogy nem sok közük van egymáshoz. Vagy talán mégis? Ebben a videóban a két témakör kapcsolódására láthatsz példákat.
Egy kör kerületén vegyünk fel 8 pontot! Hány egyenest határoznak meg ezek a pontok? Egy egyenes megrajzolásához 2 pontra van szükség. Ezek közül az első 8-féle lehet, a második már csak 7-féle. $8 \cdot 7 = 56$. A két pont sorrendje nem számít, ezért osztunk 2-vel. Tehát 28 egyenest határoz meg a 8 pont. A feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 8 különböző pontból ki kell választani kettőt, a sorrend nem számít. Ez 8 elem másodosztályú kombinációja, ezeknek a száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 2 \end{array}} \right)$ (8 alatt a 2), vagyis 28.
Számoljuk ki azt is, hogy hány háromszöget határoz meg ugyanez a 8 pont! Itt már célszerű az utóbbi gondolatmenetet követni: 8 elem harmadosztályú kombinációjáról van szó, az eredmény $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right)$ (8 alatt a 3), 56.
Egy háromszög oldalai 4 cm, 5 cm és 6 cm hosszúak. Hányféleképpen lehet a háromszög mindegyik oldalát különböző színűre festeni piros, kék és sárga színnel? Kezdjük például a 4 cm-es oldallal: ez 3-féle színű lehet. Az 5 cm-es oldal 2-féle, a 3. csak egyféle. Az eredmény $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ Gondolkodhatunk úgy is, hogy a 3 különböző színt hányféleképpen lehet sorba rendezni? Ez 3 elem ismétlés nélküli permutációja, amelyeknek a száma 3! (3 faktoriális), vagyis 6.
Változtassunk az előző feladaton annyit, hogy a piros, a kék, a zöld, a sárga és a lila szín közül lehet választani, az oldalak most is különböző színűek! Az első oldal 5-féle színű lehet, a 2. 4-féle, az utolsó 3-féle. Az összes lehetőség $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. Ez a példa ismétlés nélküli variációnak is tekinthető, 5 szín közül kell hármat kiválasztani és ezeket sorba rendezni. A megfelelő képletet használva természetesen szintén 60-at kapunk.
Egy háromszög egyik oldalát 9 részre osztottuk, majd ezeket az osztópontokat összekötöttük a 3. csúccsal. Hány háromszög látható az ábrán? A keresett háromszögek egyik csúcsa mindenképpen az A pont, a másik két csúcsa a BC oldalon van. Itt 10 pont található, ezek közül kell kiválasztani kettőt. A sorrend nem számít, ezért $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 2 \end{array}} \right)$ (10 alatt a 2), vagyis 45 a helyes megoldás.
Egy kocka lapjait pirosra festjük, majd 27 db egybevágó kis kockára szétvágjuk. Hány olyan kis kockát kapunk, amelynek 3, 2, 1, 0 lapja piros? 3 lapja piros a nagy kocka csúcsaiban lévő kis kockáknak, ezekből 8 db van. Két lapja piros a csúcsok között elhelyezkedő kis kockáknak. Ilyen 12 db van. 1 lapja piros az oldallapok közepén levő kis kockáknak. 6 oldallap van, tehát ezek száma 6. Minden lapja fehér 1 kockának, a nagy kocka közepén. Összesen $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ kis kocka keletkezett. A kapott számok összege is 27, a megoldásunk helyes.
Hány olyan háromszög szerkeszthető, amelynek oldalai cm-ben mérve egyjegyű prímszámok? Nézzük, melyek az egyjegyű prímszámok! A 2, a 3, az 5 és a 7. Ilyen oldalakkal kellene háromszögeket szerkeszteni. Felmerül az a kérdés, hogy 3 szakaszból mikor szerkeszthető háromszög? A háromszög-egyenlőtlenség szerint a háromszögekben bármely 2 oldal összege nagyobb, mint a harmadik. Tehát például olyan háromszög nincs, amelynek az oldalai 2, 3 és 7 cm hosszúak. Lehetnek-e a háromszögnek egyenlő oldalai? A feladat megfogalmazása szerint igen. Nézzük a lehetőségeket! 4 olyan háromszög van, amelynek minden oldala egyenlő. Azokat az eseteket, amikor a 3 szakasz közül kettő egyenlő, a táblázat tartalmazza. Vagy módszeresen felsoroljuk ezt a nem túl sok lehetőséget vagy számolhatunk is. Az egyik szám 4-féle lehet, a másik már csak 3, $3 \cdot 3 = 12$. Ha nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, nincs háromszög. Ezeket az eseteket kihúzzuk, marad 9 háromszög. Végül megszámoljuk a 3 különböző oldalú háromszögeket is. 4 számból kiválasztunk hármat úgy, hogy a sorrend nem számít. Ezt $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)$ (4 alatt a 3) = 4-féleképpen tehetjük meg. Ezek közül csak 1 esetben lehet háromszöget szerkeszteni. 14 olyan háromszög állítható elő, amelynek minden oldalának a hossza egyjegyű prímszám.
Láthattad, hogy a matematika két, látszólag távoli területe összekapcsolódhat a feladatokban. A kombinatorikus geometria a kombinatorika egy új ága. Olyan problémákkal foglalkozik, amelyekben a geometriai fogalmak mellé valamilyen összeszámlálási feladat társul.