Két egyenes közös pontja, kör és egyenes közös pontjai

A koordinátageometriában a köröket és az egyeneseket is az egyenletükkel adjuk meg.
Van tehát körzőnk és vonalzónk is, ezért minden olyan geometriai problémát meg tudunk oldani, amelyet valódi körzővel és valódi vonalzóval korábban meg tudtunk szerkeszteni.
A geometriai szerkesztési lépések között sokszor előfordul, hogy két egyenes, két kör vagy egy kör és egy egyenes metszéspontját adjuk meg.
A metszéspont koordinátáinak meghatározására még nincs koordinátageometriai módszerünk, ezt pótoljuk ebben a leckében.
Először egy egyszerű kérdést vizsgáljunk meg! Adott az e és az f egyenes az egyenletével és három pont a koordinátáival: P(6,2; 6,4), Q(–1,8; 6,3), R(3,2; 4,4) (ejtsd: a P pont koordinátái 6,2 és 6,4, a Q ponté –1,8 és 6,3, az R ponté pedig 3,2 és 4,4). Döntsük el, hogy melyik pont melyik egyenesen van rajta!
Ezt a problémát behelyettesítésekkel oldjuk meg.
A P pont koordinátáit behelyettesítjük mindkét egyenletbe.
Az első behelyettesítés után igaz kijelentést kapunk, tehát a P pont rajta van az e egyenesen. A második behelyettesítés hamis kijelentést ad, tehát a P pont nincs rajta az f egyenesen.
Eredményünket meg is jeleníthetjük az ábránkon.
A Q pont koordinátáit behelyettesítve két hamis kijelentést kapunk.
A Q pont tehát egyik egyenesen sincs rajta.
Az R pont koordinátáit behelyettesítve két igaz kijelentést kapunk.
Az R pont tehát mindkét egyenesen rajta van, ez a metszéspontja a két egyenesnek.
Minden feltett kérdésre válaszoltunk, de számunkra igazából az utolsó válasz az érdekes. Mit jelent az, hogy az R pont a metszéspont? Azt jelenti, hogy a (3,2; 4,4) számpár megoldása az e egyenes egyenletének, és megoldása az f egyenes egyenletének is.
Tehát a két egyenes egyenleteiből alkotott kétismeretlenes egyenletrendszer megoldását az R pont koordinátái adják.
Ellenőrizzük le, hogy helyes-e a következtetésünk, azaz oldjuk meg az egyenletrendszert! Alkalmazzuk az ellentett együtthatók módszerét, és adjuk össze az egyenletrendszer két egyenletét!
Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amelyet megoldunk.
Ha a 4,4-et visszahelyettesítjük az eredeti egyenletrendszer második egyenletébe, ismét egy egyismeretlenes egyenletet kapunk.
Az egyenletrendszernek a (3,2; 4,4) számpár a megoldása, tehát valóban az R pont koordinátáit kaptuk meg.
Foglaljuk össze a tapasztaltakat! Okoskodásunk arra vezetett, hogy algebrai úton is meg tudjuk határozni két egyenes közös pontját.
Ha két egyenes közös pontját meg tudjuk határozni, akkor két kör közös pontját is meg tudjuk határozni!
Sőt, egy kör és egy egyenes közös pontját is!
Mit jelent az, ha az egyenletrendszernek nincs megoldása? Természetesen azt, hogy nincs olyan pont, amely mindkét alakzaton rajta lenne, tehát nincs közös pontja a két alakzatnak. Például két párhuzamos egyenes esetén ilyen helyzettel találkozunk.
Befejezésül nézzük meg, hogyan határozhatjuk meg egy kör és egy egyenes metszéspontjait! Legyen a kör egyenlete az ${x^2} + {y^2} = 25$ (ejtsd: x-négyzet-plusz-y-négyzet egyenlő huszonöt), az egyenes egyenlete pedig a $7x + y = 25$ (ejtsd: hét-iksz-plusz-ipszilon egyenlő huszonöt).
A közös pontok meghatározásához az egyenes és a kör egyenletéből egy egyenletrendszert alkotunk. Ez egy kétismeretlenes, másodfokú egyenletrendszer.
A megoldás egyes lépéseit a képernyőn is követheted. Célszerű először az első egyenletből kifejezni az y-t (ejtsd: ipszilont), majd a kapott kifejezést behelyettesíteni a második egyenletbe.
Egyismeretlenes, másodfokú egyenletet kaptunk.
Megoldóképletet alkalmazunk, ami után két megoldást kapunk.
Az y-ra rendezett egyenletbe visszahelyettesítünk. Az egyenletrendszernek két megoldása van,
ezek adják a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit.
Ne feledd! A bemutatott módszer általánosan használatos a koordinátageometriában, ha két alakzat közös pontjait akarjuk meghatározni.